Abelova nagrada

Le malo bralcev bo kaj povedalo o imenu Abel. Ne, ne gre za nesrečnega mladeniča, ki ga je ubil njegov lastni brat Kajn. Mislim na norveškega matematika Nielsa Henrika Abela (1802–1829) in na nagrado, poimenovano po njem, ki jo je pravkar (16. marca 2016) podelila Norveška akademija znanosti, in pisma siru Andrewu J. Wilesu. To kompenzira matematike, da jih je Alfred Nobel izpustil v kategoriji najpomembnejše svetovne nagrade za znanost.

Čeprav matematiki cenijo t.i. Fieldsova medalja (uradno velja za najvišjo lovoriko na svojem področju), je povezana le s 15 tisoč. (ne milijone, tisoče!) kanadskih dolarjev do zmagovalca Abelove nagrade v žep pospravi ček za 6 milijonov norveških kron (približno 750 8 evrov). Nobelovi nagrajenci prejmejo 865 milijonov SEK ali približno XNUMX tisoč. evro - manj kot teniški igralci za zmago na velikem turnirju. Obstaja več verjetnih razlogov, zakaj Alfred Nobel matematikov ni uvrstil med možne nagrajence. Nobelova oporoka se je ukvarjala z »izumi in odkritji«, ki človeštvu prinašajo največjo korist, a verjetno ne teoretične, ampak praktične. Matematika ni veljala za znanost, ki bi človeštvu lahko prinesla praktične koristi.

Zakaj Abel

Kdo je bil Niels Henrik Abel in kako je postal slaven? Verjetno je bil briljanten, saj je kljub temu, da je umrl za tuberkulozo pri komaj 27 letih, imel stalno mesto v matematiki. No, že v srednji šoli nas učijo reševati enačbe; najprej prva stopnja, nato kvadratna in včasih kubična. Italijanski znanstveniki so se lahko spopadli že pred štiristo leti kvartično enačbotudi tisti, ki je videti nedolžen:

in katerega od elementov

Da, znanstveniki bi to lahko storili že v XNUMX stoletju. Ni težko uganiti, da so bile upoštevane enačbe višjih stopenj. In nič. V dvesto letih ni uspelo nikomur. Tudi Niels Abel ni uspel. In potem je ugotovil, da ... morda to sploh ni mogoče. To je mogoče dokazati nezmožnost reševanja takšne enačbe - ali bolje rečeno, izražanje rešitve v preprostih aritmetičnih formulah.

Bil je prvi od 2. leta (!) tovrstnega sklepanja: nečesa se ne da dokazati, nečesa se ne da narediti. Monopol nad tovrstnimi dokazi ima matematika - praktične vede vse bolj podirajo ovire. Leta 1888 je predsednik ameriške patentne komisije izjavil, da je "v prihodnosti treba pričakovati malo izumov, ker je bilo skoraj vse že izumljeno." Danes se temu težko celo nasmejimo ... A v matematiki, ko je enkrat dokazano, se izgubi. Ne more se narediti.

Zgodovina deli odkritje, ki sem ga opisal Niels Abel i Evarist Galois, oba sta umrla pred XNUMX. letom, podcenjevana s strani sodobnikov. Niels Abel je eden redkih norveških matematikov s široko slavo (pravzaprav dva, drugi je Sofus Li, 1842-1899 - priimka ne zvenita skandinavsko, vendar sta bila oba doma Norvežana).

Norvežani so v nasprotju s Švedi - na žalost je to pogosto med sosednjimi narodi. Eden od motivov za ustanovitev Abelove nagrade s strani Norvežanov je bila želja pokazati rojakom Alfredu Nobelu: prosim, nismo nič slabši.

Preganjanje neobstoječega vnosa marže

Tukaj je Niels Henrik Abel za vas. Zdaj o dobitniku nagrade, 63-letnem Angležu (živi v ZDA). Njegov podvig leta 1993 bi lahko primerjali le s plezanjem na Everest, plezanjem na Luno ali kaj podobnega. Kdo je gospod Andrew Wiles? Če pogledate seznam njegovih objav in različne možne indekse citiranja, bo dober znanstvenik – teh je na tisoče. Vendar pa velja za enega največjih matematikov. Njegovo raziskovanje je povezano s teorijo števil in uporablja odnose z algebraična geometrija Oraz reprezentančna teorija.

Zaslovel je z reševanjem problema, ki je bil z vidika matematike povsem nepomemben dokaz Fermatovega zadnjega izreka (kdo ne ve, kaj se dogaja - spomnite spodaj). Vendar prava vrednost ni bila sama rešitev, temveč ustvarjanje nove testne metode, ki je bila uporabljena za reševanje številnih drugih pomembnih problemov.

Na tej točki je nemogoče ne razmišljati o pomembnosti določenih zadev, o hierarhiji človeških dosežkov. Na stotine tisoč mladih sanja o tem, da bi brcali žogo bolje kot drugi, desettisoče se želijo izpostaviti himalajskim vetrom, skakati z gumo na mostu, spuščati zvoke, ki jim pravijo petje, nezdravo hrano polniti drugim ... ali rešiti nobena nepotrebna enačba . Prvi osvajalec Mount Everesta, Sir Edward Hillary, je na vprašanje, zakaj je šel tja, direktno odgovoril: "Ker je, ker je Everest!" Avtor teh besed je bil vse življenje matematik, to je bil moj recept za življenje. Edino pravilno! Ampak končajmo s to filozofijo. Vrnimo se na zdravo pot matematike. Zakaj toliko hrupa o Fermatovem izreku?

Mislim, da vsi vemo, kaj so praštevila. Zagotovo vsi razumejo besedno zvezo "razgraditi na glavne faktorje", še posebej, ko naš sin ure spremeni v dele.

Pierre de Fermat (1601-1665) je bil pravnik iz Toulousea, ukvarjal pa se je tudi z amatersko matematiko in s precej dobrimi rezultati, saj se je v zgodovino matematike zapisal kot avtor številnih izrekov teorije in analize števil. Imel je navado svoje pripombe in komentarje postavljati na rob prebranih knjig. In točno - okoli leta 1660 je na enem od robov zapisal:

Tukaj je Pierre de Fermat za vas. Od njegovega časa (in naj vas spomnim, da je takrat v Franciji živel pogumni gaskonski plemič d'Artagnan, Andrzej Kmitsich pa se je boril z Bohuslavom Radziwillom na Poljskem) je na stotine in morda celo na tisoče velikih in malih matematikov neuspešno poskušalo rekonstruirati izgubljeno razmišljanje briljantnega amaterja. Čeprav smo danes prepričani, da Fermatov dokaz ne more biti pravilen, je bilo moteče preprosto vprašanje, ali enačba xⁿ + yⁿ = gⁿ, n> 2 ima rešitve v naravnih številih? je lahko tako težko.

Številni matematiki, ki so prišli na delo 23. junija 1993, so v svoji elektronski pošti (ki je bila takrat sveža, še topla iznajdba) našli lakonično sporočilo: "Govorice iz Britanije: Wiles dokazuje Fermat." Naslednji dan je o tem pisal dnevni tisk, zadnje iz serije Wilesovih predavanj pa je zbralo novinarje, televizijo in fotoreporterje – tako kot na konferenci slavnega nogometaša.

Kdor je prebral "Satan iz sedmega razreda" Kornela Makuszyńskega, se zagotovo spomni, kaj je počel gospod Iwo Gąsowski, brat profesorja zgodovine, katerega sistem spraševanja učencev, ki ga je odkril Adaś Cisowski, je storil. Iwo Gąsowski je pravkar reševal Fermatovo enačbo, izgubljal čas, lastnino in zanemarjal hišo:

G. Iwo je na koncu razumel, da zakonski akti o pooblastilih ne bodo zagotovili sreče družine, in je obupal. Makuszyński ni maral znanosti, vendar je imel glede gospoda Gąsowskega prav. Iwo Gąsowski je naredil eno temeljno napako. Ni poskušal postati specialist v dobrem pomenu besede, ampak je deloval amatersko. Andrew Wiles je profesionalec.

Zanimiva je zgodba o boju proti Fermatovemu zadnjem izreku. Povsem preprosto je razvidno, da je dovolj, da jih rešimo za eksponente, ki so praštevila. Za n = 3 je bila rešitev podana leta 1770. Leonard Euler, za n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) in Adrien Marie Legendre leta 1830 in pri n = 7 – Gabriel Lame leta 1840. V XNUMX. stoletju je nemški matematik večino svoje energije posvetil Fermatovemu problemu Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Čeprav ni dosegel končnega uspeha, je dokazal veliko posebnih primerov in odkril številne pomembne lastnosti praštevil. Velik del sodobne algebre, teoretične aritmetike in algebraične teorije števil dolguje svoj izvor Kummerjevemu delu na Fermatovem izreku.

Pri reševanju Fermatovega problema z metodami klasične teorije števil so bili razdeljeni na dva različna primera kompleksnosti: prvega, ko predpostavljamo, da je produkt xyz sopraprost z eksponentom n, in drugega, ko je število z enako deljivo z eksponent. V drugem primeru je bilo znano, da ni rešitev do n = 150, v prvem pa do n = 000 (Lehmer, 6). To je pomenilo, da bi bil možni nasprotni primer v vsakem primeru nemogoč: za njegovo pridobitev bi bili potrebni računi z milijardami števk.

Tukaj je stara zgodba za vas. V začetku leta 1988 je bilo v svetu matematike znano, da Yoiti Miyaoka dokazal neko neenakost, iz katere je sledilo naslednje: če je le eksponent n dovolj velik, potem Fermatova enačba zagotovo nima rešitev. V primerjavi z nekoliko zgodnejšim rezultatom Nemca Gerd Faltings (1983) Miyaokin rezultat je pomenil, da če obstajajo rešitve, potem jih je (glede sorazmernosti) le končno število. Tako se rešitev Fermatovega problema zmanjša na naštevanje konca številnih primerov. Na žalost, koliko jih ni bilo znano: metode, ki jih je uporabljala Miyaoka, niso omogočale ocene, koliko jih je že "ok".

Tu je vredno omeniti, da se dolga leta preučevanje Fermatovega izreka ni izvajalo v okviru čiste teorije števil, temveč v okviru algebraične geometrije, matematične discipline, ki izhaja iz algebre in razširitve kartezijanske analitične geometrije, in zdaj razširjena skoraj povsod: od temeljev matematike (teorija topoi v logiki), preko matematične analize (kohomološke metode, funkcionalni snopi), klasične geometrije do teoretične fizike (vektorski snopi, twistorski prostori, solitoni).

Ko časti ni mar

Težko je tudi ne biti žalosten zaradi usode matematika, katerega prispevek k rešitvi Fermatovega problema je zelo pomemben. Govorim o ArakieluSuren Jurijevič Arakelov, ukrajinski matematik z armenskimi koreninami), ki je v zgodnjih 80. letih, ko je bil v četrtem letniku, ustvaril t.i. presečna teorija o aritmetičnih sortah. Takšne površine so polne lukenj in nepopolnosti, krivulje na njih pa lahko nenadoma tako rekoč izginejo in se nato znova pojavijo. Teorija presečišč pojasnjuje, kako izračunati stopnjo presečišča takšnih krivulj. To je bilo glavno orodje, ki sta ga uporabljala Fultings in Miyaoka pri svojem delu na Fermatovem problemu.

Nekoč je bil Arakelov povabljen, da predstavi svoje rezultate na velikem matematičnem kongresu. Ker pa je bil kritičen do sovjetskega sistema, so mu zavrnili dovoljenje za odhod. Kmalu so ga vpoklicali v vojsko. Kljubovalno je pokazal, da je na splošno proti služenju vojaškega roka iz pacifističnih razlogov. Kot sem izvedel iz precej dvomljivih virov, naj bi ga poslali v zaprto psihiatrično bolnišnico, kjer je preživel približno leto dni. Kot veste, so očitno v politične namene sovjetski psihiatri izpostavili posebno vrsto shizofrenije (v angleščini from, kar pomeni "počasen", v ruščini počasna shizofrenija).

Težko je stoodstotno reči, kako je bilo v resnici, saj moji viri informacij niso ravno zanesljivi. Očitno je Arakelov po odhodu iz bolnišnice nekaj mesecev preživel v samostanu v Zagorsku. Trenutno živi v Moskvi z ženo in tremi otroki. Ne dela matematike. Andrew Wiles je poln časti in denarja.

Tudi z vidika dobro hranjene evropske družbe je korak nerazumljiv Grigorij Perelman, ki je leta 2002 rešil najslavnejši topološki problem XNUMX. stoletja,”Poinarijeva domnevaIn potem je zavrnil vse možne nagrade. Najprej na začetku omenjena Fieldsova medalja, ki jo matematiki štejejo za enakovredno Nobelovi nagradi, nato pa nagrado milijon dolarjev za reševanje enega od sedmih najpomembnejših matematičnih problemov, ki so ostali iz dvajsetega stoletja. »Drugi so bili boljši, meni je vseeno za časti, saj je matematika moj hobi, imam hrano in cigarete,« je bolj ali manj povedal začudenemu svetu.

Uspeh po več kot 300 letih

Fermatov veliki izrek je bil zagotovo najbolj znan in najučinkovitejši matematični problem. Odprt je bil več kot tristo let, formuliran je bil na zelo jasen in berljiv način in teoretično ga je bilo mogoče napasti kdorkoli, v dobi popularizacije računalnikov pa je bilo razmeroma enostavno poskusiti podreti še en rekord v ocenjevanju. možne rešitve. V zgodovini matematike je to vprašanje s svojo navdihujočo vlogo odigralo zelo pomembno "kulturotvorno" vlogo, ki je prispevalo k nastanku celotnih matematičnih disciplin. To je nenavadno, saj je problem sam po sebi relativno trivialen in zgolj podatek o pomanjkanju korenin v Fermatovi enačbi ni veliko prispeval k splošni zakladnici matematičnega znanja.

Leta 1847 je Gabriel Lamet (1795-1870) predaval na Francoski akademiji znanosti, kjer je napovedal rešitev Fermatovega problema. Vendar je bila takoj opažena subtilna napaka v sklepanju. Temeljil je na nepooblaščeni uporabi edinstvenega izreka razkroja. Iz šole se spominjamo, da ima vsako število edinstveno razčlenitev na prafaktorje, na primer 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Število 503 nima deliteljev (razen samega 1 in 503), zato ga ni mogoče nadalje razširiti.

Lastnost edinstvenosti porazdelitve imajo pozitivna cela števila, vendar med drugimi številskimi množicami ni nujno, da so. Na primer za številke znakov

imamo 36 = 2²⋅2³ ,ampak tudi

Z analizo Lamejevega dokaza je Kummer uspel dokazati veljavnost Fermatove domneve za nekatere eksponente p. Imenoval jih je redna praštevila. To je bil prvi pomemben korak k popolnemu dokazu. Okoli Fermatovega izreka je zrasel mit. "Ali pa je morda še hujše - morda sploh ne morete dokazati, da je to mogoče ali nemogoče rešiti?"

Toda od 80. let so vsi čutili, da je cilj blizu. Spomnim se, da je berlinski zid še stal, jaz pa sem že poslušal predavanja o »kmalu, v trenutku«. No, nekdo je moral biti prvi. Andrew Wiles je svoje predavanje zaključil z angleško slino: "Mislim, da Fermat to dokazuje," in trajalo je nekaj časa, preden je nabito polno občinstvo spoznalo, kaj se je zgodilo: 330 let star matematični problem se je intenzivno ukvarjalo na stotine matematikov iz sam polk in nešteto amaterjev, kot je Ivo Gonsovski iz romanov Makušinskega. In Andrew Wiles je imel čast, da se je rokoval s Haraldom V., norveškim kraljem. Morda ni bil pozoren na skromen dodatek za Abelovo nagrado, približno nekaj sto tisoč evrov - zakaj potrebuje toliko denarja?