Enačbe, kode, šifre, matematika in poezija

Michal Shurek o sebi pravi: »Rodil sem se leta 1946. Leta 1968 sem diplomiral na Varšavski univerzi in od takrat delam na Fakulteti za matematiko, informatiko in mehaniko. Znanstvena specializacija: algebraična geometrija. Nedavno sem se ukvarjal z vektorskimi snopi. Kaj je vektorski žarek? Torej, vektorje je treba tesno povezati z nitjo in že imamo kup. Moj prijatelj fizik Anthony Sim me je spodbudil, da se pridružim Mlademu tehniku ​​(priznava, da bi moral prejemati licenčnine od mojih honorarjev). Napisal sem nekaj člankov in potem ostal, od leta 1978 pa lahko vsak mesec preberete, kaj si mislim o matematiki. Rada imam gore in kljub prekomerni teži poskušam hoditi. Mislim, da so učitelji najpomembnejši. Politike, ne glede na njihove možnosti, bi obdržal na močno zastraženem območju, da ne bi mogli pobegniti. Hranjenje enkrat na dan. Všeč mi je beagle iz Tuleka.

Enačba je za matematika kot šifra. Reševanje enačb, ki je bistvo matematike, je branje šifriranega besedila. To so teologi opazili že od XNUMX. To je v svojih pridigah večkrat zapisal in omenil Janez Pavel II., ki je poznal matematiko – žal so se mi dejstva izbrisala iz spomina.

V šolski znanosti je zastopan Pitagora kot avtor izreka o neki odvisnosti v pravokotnem trikotniku. Tako je postalo del naše evrocentrične filozofije. In vendar ima Pitagora veliko več vrlin. Prav on je svojim učencem naložil dolžnost, da se "učijo sveta", od "kaj je za tem hribom?" pred preučevanjem zvezd. Zato so Evropejci "odkrili" starodavne civilizacije in ne obratno.

Nekateri bralci se spomnijoViète vzorciin"; veliko starejših bralcev se samega izraza spominja iz šole in približno tega, da se je vprašanje pojavljalo pri kvadratnih enačbah. Te zakonitosti so »ideološko« šifriranje informacije.

Nič čudnega Francois Viet (1540-1603) se je ukvarjal s kriptografijo na dvoru Henrika IV. (prvi francoski kralj iz dinastije Bourbonov, 1553-1610) in uspel razbiti šifro, ki so jo uporabljali Britanci v vojni s Francijo. Tako je odigral enako vlogo kot poljski matematiki (na čelu z Marianom Rejewskim), ki so pred drugo svetovno vojno odkrili skrivnosti nemškega šifrirnega stroja Enigma.

modna tema

Točno tako. Tema "kode in šifre" je že dolgo postala modna v poučevanju. O tem sem že večkrat pisal, čez dva meseca pa bo še ena serija. Tokrat pišem pod vtisom filma o vojni leta 1920, kjer je bila zmaga v veliki meri posledica zloma kodeksa boljševiških čet s strani ekipe pod vodstvom takrat mladih Vaclav Sierpinski (1882-1969). Ne, to še ni Enigma, je samo uvod. Spomnim se prizora iz filma, kjer Józef Piłsudski (igra ga Daniil Olbrychski) pravi vodji oddelka za šifriranje:

Dekodirana sporočila so nosila pomembno sporočilo: čete Tuhačevskega ne bodo prejele podpore. Lahko napadete!

Poznal sem Vaclava Sierpinskega (če lahko tako rečem: bil sem mlad študent, on je bil slaven profesor), obiskoval njegova predavanja in seminarje. Dajal je vtis usahlega učenjaka, raztresenega, zaposlenega s svojo disciplino in ne vidi drugega sveta. Predaval je posebej, obrnjen proti tabli, ne gledal v občinstvo ... vendar se je počutil kot izjemen specialist. Tako ali drugače je imel določene matematične sposobnosti - na primer za reševanje problemov. Obstajajo tudi drugi, znanstveniki, ki so relativno slabi pri reševanju ugank, vendar globoko razumejo celotno teorijo in so sposobni sprožiti celotna področja ustvarjalnosti. Potrebujemo oboje - čeprav se bo prvi premaknil hitreje.

Vaclav Sierpinski ni nikoli govoril o svojih dosežkih leta 1920. Do leta 1939 je bilo to vsekakor treba zamolčati, po letu 1945 pa tisti, ki so se borili s Sovjetsko Rusijo, niso uživali simpatij takratne oblasti. Moje prepričanje, da so znanstveniki potrebni kot vojska, je dokazano: "za vsak slučaj." Tukaj je predsednik Roosevelt, ki kliče Einsteina:

Izjemni ruski matematik Igor Arnold je odkrito in žalostno dejal, da je imela vojna velik vpliv na razvoj matematike in fizike (tudi radar in GPS sta imela vojaški izvor). Ne spuščam se v moralni vidik uporabe atomske bombe: tu je podaljšanje vojne za eno leto in smrt več milijonov lastnih vojakov - tu je trpljenje nedolžnih civilistov.

***

Bežim v poznana področja - k. Mnogi smo se igrali s kodami, morda skavtsko, morda kar tako. Enostavne šifre, ki temeljijo na principu zamenjave črk z drugimi črkami ali drugimi številkami, se rutinsko razbijejo, če ujamemo le nekaj sledi (na primer uganemo kraljevo ime). Danes pomaga tudi statistična analiza. Še huje, ko je vse spremenljivo. A najslabše je, če ni pravilnosti. Razmislite o kodi, opisani v Dogodivščinah dobrega vojaka Švejka. Vzemite knjigo, na primer Poplava. Tukaj so predlogi na prvi in ​​drugi strani.

Želimo kodirati besedo "CAT". Odpremo na 1. strani in naslednji sekundi. Ugotovimo, da se na strani 1 črka K najprej pojavi na 59. mestu. Na nasprotni, drugi strani najdemo devetinpetdeseto besedo. To je "a" beseda. Zdaj črka O. Na levi je 16. beseda, šestnajsta na desni pa "g." Črka T je na 95. mestu, če sem prav štel, in petindevetdeseta beseda z desne je "o". Torej, MAČKA = 1 GOSPOD O.

Šifra, ki jo ni mogoče uganiti, čeprav boleče počasna tako za šifriranje kot ... za ugibanje. Recimo, da želimo posredovati črko M. Lahko preverimo, ali jo kodiramo z besedo "Wołodyjowski". In za nami že pripravljajo zaporniško celico. Računamo lahko le na zamenjavo! Poleg tega protiobveščevalna služba ugotavlja poročila tajnih uslužbencev, da so stranke že nekaj časa voljno kupovale prvi zvezek The Flood.

Moj članek je prispevek k tej tezi: tudi najbolj nenavadne zamisli matematikov lahko najdejo uporabo v široko razumljeni praksi. Na primer, ali si je mogoče zamisliti manj uporabno matematično odkritje kot test za deljivost s ... s 47?

Kdaj ga potrebujemo v življenju? In če je tako, ga bo lažje poskusiti ločiti. Če deli, potem je dobro, če ne, potem ... sekundarno je dobro (vemo, da ne deli).

Kako deliti in zakaj

Po tem uvodu preidimo na Ali bralci poznate znake deljivosti? Vsekakor. Soda števila se končajo z 2, 4, 6, 8 ali nič. Število je deljivo s tri, če je vsota njegovih števk deljiva s tri. Podobno je z znakom deljivosti z devet - vsota števk mora biti deljiva z devet.

Kdo ga potrebuje? Lagal bi, če bi Bralca prepričal, da je dober za kaj drugega kot za... šolske naloge. No, in še ena lastnost deljivosti s 4 (in kaj je to, Bralec? Mogoče jo boste uporabili, ko boste želeli vedeti, v katero leto bo naslednja olimpijada ...). Toda značilnost deljivosti s 47? To je že glavobol. Bomo kdaj vedeli, ali je nekaj deljivo s 47? Če je odgovor pritrdilen, potem vzemite kalkulator in poglejte.

to je Prav imaš, bralec. In vendar, berite naprej. Ni za kaj.

Delljivost s 47: Število 100+ je deljivo s 47, če in samo če je 47 deljivo z +8.

Matematik se bo zadovoljno nasmehnil: "Joj, lepa." Ampak matematika je matematika. Dokazi so pomembni in pozorni smo na njihovo lepoto. Kako dokazati svojo lastnost? Je zelo preprosto. Od 100 odštejte + število 94 - 47 = 47 (2 -). Dobimo 100+-94+47=6+48=6(+8).

Odšteli smo število, ki je deljivo s 47, torej če je 6 (+ 8) deljivo s 47, potem je tudi 100 +. Toda število 6 je sopraprosto s 47, kar pomeni, da je 6 (+ 8) deljivo s 47, če in samo če je + 8. Konec dokaza.

poglejmo Nekaj ​​primerov.

8805685 je deljivo s 47? Če nas to res zanima, bomo izvedeli prej samo tako, da nas razdelijo, kot so nas učili v osnovni šoli. Tako ali drugače je zdaj v vsakem mobilnem telefonu kalkulator. Razdeljen? Da, zasebno 187355.

No, poglejmo, kaj nam pove znak deljivosti. Zadnji dve števki odklopimo, ju pomnožimo z 8, rezultat dodamo "okrnjeni številki" in storimo enako z nastalo številko.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Vidimo, da je 94 deljivo s 47 (količnik je 2), kar pomeni, da je deljivo tudi prvotno število. V redu. Kaj pa, če se še naprej zabavamo?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Zdaj se moramo ustaviti. Sedeminštirideset je deljivo s 47, kajne?

Ali se res moramo ustaviti? Kaj če gremo dlje? O moj bog, vse se lahko zgodi ... podrobnosti bom izpustil. Mogoče samo začetek:

47 → 0 + 8 * 47 = 376 → 3 + 8 * 76 = 611 → 6 + 8 * 11 = 94 → 0 + 8 * 94 = 752.

Toda na žalost povzroča tako odvisnost kot žvečenje semen ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, sedeminštirideset. Zgodilo se je že prej. Kaj je naslednje? . Enako. Številke gredo v zanko takole:

Res je zanimivo. Toliko zank.

Dva naslednje primere.

Želimo vedeti, ali je 10017627 deljivo s 47. Zakaj potrebujemo to znanje? Spomnimo se načela: gorje spoznanju, ki ne pomaga poznavalcu. Znanje je vedno za nekaj. Za nekaj bo, zdaj pa ne bom razlagal. Še nekaj računov:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Svojega strica je spremenil iz sekire v palico." Kaj imamo od vsega tega?

No, pa ponovimo potek postopka. To pomeni, da bomo to počeli še naprej (to je beseda "iterirati").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Ustavimo igro, delimo kot v šoli (ali na kalkulatorju): 235 = 5 47. Tombola. Prvotno število 10017627 je deljivo s 47.

Dobro opravljeno!

Kaj če gremo dlje? Verjemite mi, lahko preverite.

In še eno zanimivost. Želimo preveriti, ali je 799 deljivo s 47. Uporabljamo funkcijo deljivosti. Odklopimo zadnji dve števki, dobljeno število pomnožimo z 8 in dodamo tistemu, kar ostane:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

kaj imamo? Ali je 799 deljivo s 47, če in samo če je 799 deljivo s 47? Ja, tako je, ampak za to ni potrebna matematika!!! Olje je mastno (vsaj to olje je mastno).

O listu, piratih in koncu šal!

Še dve zgodbi. Kje je najbolje skriti list? Odgovor je očiten: v gozdu! Toda kako ga potem najti?

Drugo poznamo iz knjig o piratih, ki smo jih prebrali že zdavnaj. Pirati so naredili zemljevid kraja, kjer so zakopali zaklad. Drugi so ga ukradli ali zmagali v boju. A na zemljevidu ni bilo razvidno, kateremu otoku je bil namenjen. In poiščite sami! Seveda so se pirati spopadli s tem (mučenjem) - šifre, o katerih govorim, je mogoče izvleči tudi s takšnimi metodami.

Konec šal. Bralec! Ustvarimo šifro. Sem vohun pod krinko in uporabljam "Junior Technician" kot polje za stike. Posredujte mi šifrirana sporočila na naslednji način.

Najprej pretvorite besedilo v niz številk s kodo: AB CDEFGH IJ KLMN NA RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Kot lahko vidite, ne uporabljamo poljskih diakritičnih znakov (tj. brez ą, ę, ć, ń, ó, ś) in nepoljskih q, v - vendar je nepoljski x za vsak slučaj. Vključimo še 25 kot presledek (presledek med besedami). Oh, najpomembnejša stvar. Prosimo, uporabite kodo št. 47.

Veš kaj to pomeni. Greš k prijatelju matematiku.

Prijateljeve oči so se od presenečenja razširile.

Ponosno odgovoriš:

Matematik vas obdari s to lastnostjo ... in že veste, da se za šifriranje uporablja neopazna funkcija

ker je tak vzorec opisano dejanje

100 + → + 8.

Torej, ko želite vedeti, kaj pomeni številka, na primer 77777777 v šifriranem sporočilu, uporabite funkcijo

100 + → + 8

dokler ne dobite številke med 1 in 25. Zdaj si oglejte eksplicitno alfanumerično kodo. Poglejmo: 77777777 →… To vam prepuščam kot nalogo. Toda poglejmo, kaj skriva črka 48? preberimo:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Nato dobimo po vrsti:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Konca ni na vidiku. Šele po šestdesetem (!) času se bo pojavila številka, manjša od 25. To je 3, kar pomeni, da je 48 črka C.

In kaj nam daje to sporočilo? (Želim vas spomniti, da uporabljamo kodno številko 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

No, pomislite, kaj je tako zapletenega, nekaj računov. Začeli smo. Zgodnje 80. Znano pravilo:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Nadaljuje se takole:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Jejte! Prva črka sporočila je K. Phew, preprosto, ampak kako dolgo bo trajalo?

Poglejmo še, koliko težav imamo s številom 1234567. Šele šestnajstič bomo dobili število manjše od 25, in sicer 12. Torej je 1234567 L.

V redu, bi lahko rekli, toda ta aritmetična operacija je tako preprosta, da bo programiranje v računalniku takoj zlomilo kodo. Ja, res je. To so preprosti računalniški izračuni. ideja z javna šifra in gre tudi za oteževanje izračunov za računalnik. Naj deluje vsaj sto let. Ali bo dešifriral sporočilo? Ni pomembno. Dolgo ne bo pomembno. O tem (bolj ali manj) gre pri javnih šifrah. Lahko se zlomijo, če delate zelo dolgo ... dokler novice niso več pomembne.

 vedno je rojevalo »protiorožje«. Vse se je začelo z mečem in ščitom. Tajne službe plačujejo ogromne vsote denarja nadarjenim matematikom, da izumijo metode šifriranja, ki jih računalniki (vključno s tistimi, ki smo jih ustvarili mi) v XNUMX. stoletju ne bodo mogli razbiti.

dvaindvajseto stoletje? Ni tako težko vedeti, da je na svetu že veliko ljudi, ki bodo živeli v tem lepem stoletju!

Oh kaj? Kaj pa, če prosim (mene, tajnega uradnika, ki ga kontaktira "Mladi tehnik") za šifriranje s številko kode 23? ali 17? Enostavno:

Naj nam matematike nikoli ne bo treba uporabiti za takšne namene.

***

Naslov članka je o poeziji. Kaj ima ona s tem?

Kot kaj? Poezija tudi šifrira svet.

Kako?

Po svojih metodah - podobnih algebrskim.