Članek o ničemer
Vsebina
Že kot otroka me je navdušila zgodba, ki jo verjetno pozna marsikateri bralec, o »juhi na žeblju«. Moja babica (XNUMX. stoletje rojstva) mi je to povedala v različici "Kozak je prišel in prosil za vodo, ker ima žebelj in bo na njem skuhal juho." Radovedna gostiteljica mu je dala lonec vode … in vemo, kaj se je zgodilo potem: »juha naj bo slana, dait, babi, sol«, potem je meso opral, »da izboljša okus« itd. Na koncu je "zakuhan" žebelj odvrgel.
Ta članek naj bi torej govoril o praznini vesolja - in to o pristanku evropskega aparata na kometu 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. novembra 2014. Toda med pisanjem sem podlegel dolgoletni navadi, Še vedno sem matematik. Kako je s Všeč mi jeс Nič iz matematike?
Kako Nič obstaja?
Ne moremo reči, da Nič ne obstaja. Obstaja vsaj kot filozofski, matematični, religiozni in povsem pogovorni pojem. Nič je navadna številka, nič stopinj na termometru je tudi temperatura, nič stanja v banki pa je neprijeten, a pogost pojav. Upoštevajte, da v kronologiji ni ničelnega leta, in to zato, ker je bila nič uvedena v matematiko šele v poznem srednjem veku, pozneje od kronologije, ki jo je predlagal menih Dionizij (XNUMX. stoletje).
Čudno je, da bi res lahko brez te ničle in zato brez negativnih števil. V enem od učbenikov o logiki sem našel vajo: nariši ali povej, kako si predstavljaš odsotnost rib. Neverjetno, kajne? Vsak lahko nariše ribo, samo ene ne?
Zdaj pa na kratko osnovni tečaj matematike. Dodelitev privilegije obstoja praznemu nizu, označenemu s prečrtanim krogom ∅, je nujen postopek, analogen dodajanju nič na množico številk. Prazen niz je edini niz, ki ne vsebuje elementov. Takšne zbirke:
Vendar ni dveh različnih praznih nizov. Prazen komplet je vključen v vsak drugi komplet:
Pravzaprav pravila matematične logike pravijo, da je množica A v množici B, če in samo če je stavek:
vključuje
V primeru prazne množice ∅ je predlog vedno napačen, zato je po zakonih logike implikacija na splošno resnična. Vse izhaja iz laži (»tu bom vzgojil kaktus, če greš v naslednji razred ...«). Torej, ker je prazna množica vsebovana v vsaki od drugih, bi bila vsaka v drugi, če bi bila dva različna. Če pa sta dva niza drug v drugem, sta enaka. Zato: samo en prazen komplet je!
Postulat o obstoju prazne množice ni v nasprotju z nobenimi zakoni matematike, zakaj ga torej ne bi oživeli? Filozofsko načelo, imenovanoOccamova britvica» Nalog za izločitev nepotrebnih pojmov, a ravno prav koncept prazne množice je zelo uporaben v matematiki. Upoštevajte, da ima prazen niz dimenzijo -1 (minus ena) - ničdimenzionalni elementi so točke in njihovi redki sistemi, enodimenzionalni elementi so črte, v poglavju pa smo govorili o zelo zapletenih matematičnih elementih z fraktalno dimenzijo. na fraktale.
Zanimivo je, da je celotna zgradba matematike: števila, števila, funkcije, operatorji, integrali, diferenciali, enačbe ... mogoče izpeljati iz enega pojma – prazne množice! Dovolj je domnevati, da obstaja prazen niz, na novo ustvarjene elemente je mogoče združiti v nize, da lahko zgraditi vso matematiko. Tako je nemški logik Gottlob Frege sestavil naravna števila. Nič je razred množic, katerih elementi so v medsebojni korespondenci z elementi prazne množice. Ena je razred množic, katerih elementi so v medsebojni korespondenci z elementi množice, katere edini element je prazna množica. Dva je razred množic, katerih elementi so ena proti ena z elementi množice, sestavljene iz prazne množice in množice, katere edini element je prazna množica ... itd. Na prvi pogled se zdi, da je to nekaj zelo zapletenega, v resnici pa ni.
Modra se je razširila po meni
dišalo po vresju in dišalo po meti...
Wojciech Mlynarski, Žetveno dekle
Težko si je predstavljati
Nič si ni težko predstavljati. V zgodbi Stanisława Lema "Kako je bil svet rešen" je oblikovalec Trurl zgradil stroj, ki bi naredil vse, začenši s črko. Ko je Klapaucius naročil, naj jo zgradijo Nic, je stroj začel s sveta odstranjevati različne predmete – s končnim ciljem odstraniti vse. Ko je prestrašeni Klapaucius ustavil avto, so galeje, tise, obešanke, hake, rime, tolkači, pufi, mlinčki, nabodala, filidroni in zmrzali za vedno izginili s sveta. In res so za vedno izginili ...
Józef Tischner je zelo dobro pisal o niču v svoji Zgodovini gorske filozofije. Med zadnjim dopustom sem se odločil izkusiti ta ničevost, in sicer sem šel na šotna barja med Nowy Targom in Jabłonko v Podhale. To območje se celo imenuje Pustachia. Greš, greš, a pot se ne zmanjša – seveda v našem skromnem, poljskem merilu. Nekega dne sem se peljal z avtobusom v kanadski provinci Saskatchewan. Zunaj je bilo koruzno polje. Zadremal sem pol ure. Ko sem se zbudil, sva se peljala skozi isto koruzno polje... Ampak počakaj, je to prazno? V nekem smislu je odsotnost spremembe le praznina.
Navajeni smo stalne prisotnosti različnih predmetov okoli nas in od nekaj ne moreš pobegniti niti z zaprtimi očmi. "Mislim, torej sem," je rekel Descartes. Če sem že nekaj mislil, potem obstajam, kar pomeni, da je vsaj nekaj na svetu (namreč jaz). Ali obstaja to, kar sem mislil? O tem je mogoče razpravljati, toda v sodobni kvantni mehaniki je Heisenbergovo načelo znano: vsako opazovanje moti stanje opazovanega predmeta. Dokler ne vidimo Nic ne obstaja in ko začnemo iskati, predmet preneha biti Všeč mi je in postane nekaj. Postaja absurdno antropsko načelo: Nima smisla se spraševati, kakšen bi bil svet, če nas ne bi bilo. Svet je takšen, kot se nam zdi. Morda bodo druga bitja Zemljo videla kot oglato?
Pozitron (takšen pozitivni elektron) je luknja v prostoru, "elektrona ni." V procesu anihilacije elektron skoči v to luknjo in "nič se ne zgodi" - ni luknje, ni elektrona. Preskočil bom veliko šal o luknjah v švicarskem siru (»več kot jih imam, manj jih je ...«). Sloviti skladatelj John Cage je svoje ideje že do te mere uporabil, da je zložil (?) skladbo (?), v kateri orkester 4 minute 33 sekund nepremično sedi in seveda ničesar ne igra. »Štiri minute in triintrideset sekund je dvesto triinsedemdeset, 273, minus 273 stopinj pa je absolutna ničla, pri kateri se vse gibanje ustavi,« je pojasnil skladatelj (?).
Filtriraj na nič, nič, nick, nick, nič, nič!
Jerzy v filmu Andrzeja Wajde Skozi leta,
dnevi minevajo"
Kaj pa vsi?
Mnogi ljudje (od preprostih kmetov do uglednih filozofov) so se spraševali o fenomenu obstoja. V matematiki je situacija preprosta: nekaj je dosledno.
Izginila je v obrobnih poljih
V koruznicah, plevelih in levjih ustih ...
No, takšne stvari se dogajajo
Predvsem v žetvi in med žetvijo
predvsem…
Wojciech Mlynarski, Žetveno dekle
Vse je na drugi skrajnosti Nič. Pri matematiki to vemo Vse ne obstaja. Preveč netočna predstava, da bi bil njegov obstoj brez polemik. To je mogoče razumeti na primeru starega paradoksa: "Če je Bog vsemogočen, potem ustvarite kamen, da ga poberete?" Matematični dokaz, da ne more biti množic vseh množic, temelji na izreku pevec Bershtein, ki pravi, da je "neskončno število" (matematično: kardinalno število) množica vseh članov dane množice je večja od števila elementov te množice.
Če ima niz elemente, jih ima 2n podmnožice; na primer, ko je = 3 in je niz sestavljen iz {1, 2, 3}, potem obstajajo naslednje podmnožice:
- trije dvoelementni nizi: vsakemu od njih manjka ena od številk 1, 2, 3,
- en prazen komplet,
- trije enoelementni sklopi,
- celoten sklop {1,2,3}
– samo osem, 23In bralci, ki so pred kratkim končali šolo, bi se rad spomnil na ustrezno formulo:
Vsak Newtonov simbol v tej formuli določa število k-elementnih nizov v množici -elementov.
V matematiki se binomski koeficienti pojavljajo na mnogih drugih mestih, na primer v zanimivih formulah za zmanjšano množenje:
in od njihove natančne oblike je njihova soodvisnost veliko bolj zanimiva.
Težko je razumeti, kaj - kar zadeva logiko in matematiko - je in kaj Vse ni. Argumenti za neobstoj. Enako kot tisti medvedka Puja, ki je svojega gosta Tigra vljudno vprašal, ali imajo tigri sploh radi med, želod in osat? Tigri imajo radi vse,« je odgovoril tisti, iz katerega je Kubus sklepal, da če imajo radi vse, potem radi tudi spijo na tleh, zato se lahko on, Vinnie, vrne v posteljo.
Še en argument Russellov paradoks. V mestu je brivec, ki obrije vse moške, ki se ne brijejo sami. Ali se brije sam? Oba odgovora sta v nasprotju s postavljenim pogojem, da se zakoljejo tisti in le tisti, ki tega ne storijo sami.
Iščemo zbirko vseh zbirk
Za zaključek bom podal pameten, a najbolj matematičen dokaz, da ne obstaja množica vseh množic (da se ne zamenja z njim).
Najprej bomo pokazali, da je za katero koli neprazno množico X nemogoče najti vzajemno edinstveno funkcijo, ki preslika ta niz v množico njegovih podmnožic P(X). Predpostavimo torej, da ta funkcija obstaja. Označimo ga s tradicionalnim f. Kaj je f od x? To je zbirka. Ali xf pripada x? To je neznano. Ali moraš ali pa ne. Toda za nek x mora biti še vedno tak, da ne pripada f od x. No, potem razmislite o množici vseh x, za katere x ne pripada f(x). Označimo jo (ta množico) z A. Odgovarja nekemu elementu a množice X. Ali a pripada A? Recimo, da bi morali. Toda A je množica, ki vsebuje samo tiste elemente od x, ki ne pripadajo f(x) ... No, morda ne pripada A? Toda množica A vsebuje vse elemente te lastnosti in s tem tudi A. Konec dokaza.
Če bi torej obstajala množica vseh množic, bi bila sama podmnožica, kar je po prejšnjem sklepanju nemogoče.
Uf, mislim, da tega dokaza ni videlo veliko bralcev. Namesto tega sem ga omenil, da bi pokazal, kaj so morali storiti matematiki ob koncu devetnajstega stoletja, ko so začeli preučevati temelje lastne znanosti. Izkazalo se je, da so težave tam, kjer jih nihče ni pričakoval. Poleg tega za celotno matematiko ta sklepanja o osnovah niso pomembna: ne glede na to, kaj se dogaja v kleteh - cela stavba matematike stoji na trdni skali.
Medtem pa na vrhu ...
Iz zgodb Stanislava Lema ugotavljamo še eno moralo. Na enem od svojih potovanj je Iyon Tichi dosegel planet, katerega prebivalci so po dolgi evoluciji končno dosegli najvišjo stopnjo razvoja. Vsi so močni, zmorejo vse, imajo vse na dosegu roke ... in ne naredijo ničesar. Uležejo se na pesek in ga nalijejo med prste. "Če je vse mogoče, ni vredno," razlagajo šokirani Ijon. Naj se to ne zgodi naši evropski civilizaciji...
