petkrat v oko

Konec leta 2020 je na univerzah in šolah potekalo več dogodkov, prestavljenih iz ... marca. Eno izmed njih je bilo »praznovanje« dneva pi. Ob tej priložnosti sem 8. decembra predaval na daljavo na Univerzi v Šleziji in ta članek je povzetek predavanja. Celotna zabava se je začela ob 9.42, moje predavanje pa je na sporedu ob 10.28. Od kod taka natančnost? Preprosto je: 3-krat pi je približno 9,42 in π na 2. potenco je približno 9,88, ura 9 na 88. potenco pa je 10 na 28. ...

Običaj spoštovanja te številke, ki izraža razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom in se včasih imenuje Arhimedova konstanta (kot tudi v nemško govorečih kulturah), prihaja iz ZDA (Poglej tudi: ). 3.14 marec “American style” ob 22:22, od tod ideja. Poljski ekvivalent bi lahko bil 7. julij, ker se ulomek 14/XNUMX dobro približa π, kar je ... vedel že Arhimed. No, marec XNUMX je najboljši čas za stranske dogodke.

Te tri in štirinajst stotinke so eno redkih matematičnih sporočil, ki so nam ostala iz šole za vse življenje. Vsi vedo, kaj to pomeni"petkrat v oko". To je tako zasidrano v jeziku, da ga je težko izraziti drugače in z enako milostjo. Ko sem v avtomehanični delavnici vprašal, koliko bi lahko stalo popravilo, je mehanik pomislil in rekel: "petkrat približno osemsto zlotov." Odločil sem se, da bom izkoristil situacijo. "Misliš grob približek?". Mehanik je verjetno mislil, da sem narobe slišal, zato je ponovil: "Ne vem natančno, koliko, ampak petkrat na oko bi bilo 800."

.

Za kaj se gre? Črkovanje pred drugo svetovno vojno je uporabljalo "ne" skupaj in sem ga pustil tam. Tu nimamo opravka s nepotrebno veličastno poezijo, čeprav mi je všeč ideja, da »zlata ladja črpa srečo«. Učence vprašajte: Kaj pomeni ta misel? Toda vrednost tega besedila je drugje. Število črk v naslednjih besedah ​​so števke razširitve pi. Pa poglejmo:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

Leta 1596 nizozemski znanstvenik nemškega porekla Ludolph van Seulen izračunal vrednost pi na 35 decimalnih mest. Nato so bile te figure vgravirane na njegov grob. Posvetila je pesem številki pi in našemu Nobelovcu, Vislava Šimborska. Szymborska je bila navdušena nad neperiodičnostjo te številke in dejstvom, da se bo z verjetnostjo 1 vsako zaporedje števk, kot je naša telefonska številka, pojavilo tam. Medtem ko je prva lastnost lastna vsakemu iracionalnemu številu (ki se ga moramo spomniti iz šole), je druga zanimivo matematično dejstvo, ki ga je težko dokazati. Najdete lahko celo aplikacije, ki ponujajo: dajte mi svojo telefonsko številko in povedal vam bom, kje je v pi.

Kjer je okroglost, tam je spanje. Če imamo okroglo jezero, potem je hoja okoli njega 1,57-krat daljša od plavanja. To seveda ne pomeni, da bomo plavali enkrat in pol do dvakrat počasneje, kot bomo mimo. Svetovni rekord na 100 m sem delil s svetovnim rekordom na 100 m. Zanimivo je, da je rezultat pri moških in ženskah skoraj enak in znaša 4,9. Plavamo 5x počasneje kot tečemo. Veslanje je povsem drugačen – a zanimiv izziv. Ima precej dolgo zgodbo.

Čedni in plemeniti Dobri je bežal pred zasledujočim zlobnežem do jezera. Zlobnež teče ob obali in čaka, da ga prisili na kopno. Seveda teče hitreje kot Dobry vesla, in če teče gladko, je Dobry hitrejši. Torej je edina možnost za Zlo, da spravi Dobro z obale - natančen strel iz revolverja ni možnost, ker. Dobro ima dragocene informacije, ki jih želi vedeti Zlo.

Good se drži naslednje strategije. Plava čez jezero, postopoma se približuje obali, a vedno poskuša biti na nasprotni strani Hudca, ki naključno teče na levo, nato na desno. To je prikazano na sliki. Naj bo začetni položaj zla Z₁, Dobre pa je sredina jezera. Ko se Zly preseli v Z₁, Dobro bo odplulo v D.₁ko je slabo v Z₂, dobro za D₂. Tekla bo cikcakasto, vendar v skladu s pravilom: čim dlje od Z. Ko pa se odmika od središča jezera, se mora Dobro premikati v vse večjih krogih in na neki točki ne more drži se načela »biti na drugi strani zla«. Nato je z vso močjo odveslal do obale v upanju, da Hudobni ne bo zaobšel jezera. Bo Goodu uspelo?

Odgovor je odvisen od tega, kako hitro lahko Good vesla glede na vrednost Badovih nog. Recimo, da slab človek teče s hitrostjo, skratno hitrostjo dobrega človeka po jezeru. Zato ima največji krog, po katerem lahko dobro vesla, da bi se uprl zlu, polmer, ki je enkrat manjši od polmera jezera. Torej, na risbi imamo. V točki W začne naš Kind veslati proti obali. To mora iti 

 s hitrostjo

Potrebuje čas.

Wicked lovi vse svoje najboljše noge. Izpolniti mora polovico kroga, kar mu bo vzelo sekunde ali minute, odvisno od izbranih enot. Če je to več kot srečen konec:

Dobra bo šla. Preprosti računi kažejo, kaj bi moralo biti. Če slab človek teče hitreje kot 4,14-kratnik dobrega človeka, se ne konča dobro. In tudi tu poseže naše število pi.

Kar je okroglo, je lepo. Poglejmo fotografijo treh okrasnih krožnikov – imam jih po starših. Kakšna je ploščina krivokotnega trikotnika med njima? To je preprosta naloga; odgovor je na isti fotografiji. Ne preseneča nas, da se pojavi v formuli - navsezadnje, kjer je okroglost, je pi.

Uporabil sem morda neznano besedo:. To je ime števila pi v nemško govoreči kulturi in vse to po zaslugi Nizozemcev (pravzaprav Nemca, ki je živel na Nizozemskem - narodnost takrat ni bila pomembna), Ludolf iz Seulena... Leta 1596 g. izračunal je 35 števk svoje razširitve na decimalko. Ta zapis je ostal do leta 1853, ko William Rutherford štel 440 sedežev. Rekorder za ročne izračune je (verjetno za vedno) William Shankski je po dolgih letih dela izdal (leta 1873) razširitev na 702 števk. Šele leta 1946 se je izkazalo, da je zadnjih 180 števk napačnih, a je tako tudi ostalo. 527 prav. Zanimivo je bilo najti sam hrošč. Kmalu po objavi Shanksovega rezultata so posumili, da je »nekaj narobe« – v razvoju je bilo sumljivo malo sedmic. Hipoteza, ki še ni dokazana (december 2020), pravi, da bi se morale vse številke pojavljati z enako pogostostjo. To je spodbudilo D. T. Fergusona, da je revidiral Shanksove izračune in našel "učenčevo" napako!

Kasneje so ljudem pomagali kalkulatorji in računalniki. Trenutni (december 2020) rekorder je Timothy Mullican (50 bilijonov decimalnih mest). Izračuni so trajali ... 303 dni. Igrajmo se: koliko prostora bi zavzela ta številka, natisnjena v standardni knjigi. Do nedavnega je bila natisnjena "stranka" besedila 1800 znakov (30 vrstic krat 60 vrstic). Zmanjšajmo število znakov in robov strani, stlačimo 5000 znakov na stran in natisnimo knjige na 50 straneh. Torej bi za XNUMX bilijon znakov vzelo deset milijonov knjig. Ni slabo, kajne?

Vprašanje je, kaj je smisel takšnega boja? Čisto z ekonomskega vidika, zakaj bi moral davkoplačevalec plačevati takšno »zabavo« matematikov? Odgovor ni težak. najprej iz Seulena izumili praznine za izračune, potem uporabno za logaritemske izračune. Če bi mu rekli: prosim, zgradite praznine, bi odgovoril: zakaj? Podobno ukaz:. Kot veste, to odkritje ni bilo povsem naključno, ampak vseeno stranski produkt raziskav drugačnega tipa.

Drugič, preberimo, kaj piše Timothy Mullican. Tukaj je reprodukcija začetka njegovega dela. Profesor Mullican se ukvarja s kibernetsko varnostjo, pi pa je tako majhen hobi, da je pravkar preizkusil svoj novi sistem kibernetske varnosti.

In da je 3,14159 v tehniki več kot dovolj, to je druga stvar. Naredimo preprost izračun. Jupiter je od Sonca oddaljen 4,774 Tm (terameter = 1012 metrov). Za izračun obsega takšnega kroga s takšnim polmerom z absurdno natančnostjo 1 milimeter bi bilo dovolj, da vzamemo π = 3,1415926535897932.

Naslednja fotografija prikazuje četrt kroga lego kock. Uporabil sem 1774 blazinic in je bilo približno 3,08 pi. Ni najboljše, a kaj pričakovati? Krog ne more biti sestavljen iz kvadratov.

Točno tako. Znano je, da je število pi krog kvadrat - matematični problem, ki je čakal na svojo rešitev več kot 2000 let - že od grških časov. Ali lahko s šestilom in ravnilom sestaviš kvadrat, katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga?

Izraz "kvadrat kroga" je v govorjeni jezik vstopil kot simbol nečesa nemogočega. Pritisnem tipko, da vprašam, ali je to nekakšen poskus zapolnitve jarka sovražnosti, ki ločuje državljane naše lepe države? Tej temi pa se že izogibam, ker se najbrž čutim samo pri matematiki.

In spet isto - rešitev problema kvadrature kroga se ni pojavila tako, da bi avtor rešitve oz. Charles Lindemann, leta 1882 je bil ustanovljen in končno uspel. Do neke mere da, vendar je bil to posledica napada s široke fronte. Matematiki so se naučili, da obstajajo različne vrste številk. Ne samo cela števila, racionalna (to je ulomke) in iracionalna. Nemerljivost je lahko tudi boljša ali slabša. Iz šole se morda spomnimo, da je iracionalno število √2 - število, ki izraža razmerje med dolžino diagonale kvadrata in dolžino njegove stranice. Kot vsako iracionalno število ima tudi neomejeno razširitev. Naj vas spomnim, da je periodična ekspanzija lastnost racionalnih števil, t.j. zasebna cela števila:

Tukaj se v nedogled ponavlja zaporedje števil 142857. Za √2 se to ne bo zgodilo - to je del neracionalnosti. Lahko pa:

(ulomek se nadaljuje za vedno). Tu vidimo vzorec, vendar drugačnega tipa. Pi niti ni tako pogost. Ni ga mogoče dobiti z reševanjem algebraične enačbe - torej tiste, v kateri ni ne kvadratnega korena, ne logaritma, ne trigonometričnih funkcij. Že to kaže, da ni konstruktibilno - risanje krogov vodi do kvadratnih funkcij, črte - ravne črte - do enačb prve stopnje.

Mogoče sem odstopil od glavnega zapleta. Šele razvoj vse matematike je omogočil vrnitev k izvorom - k starodavni lepi matematiki mislecev, ki so nam ustvarili evropsko kulturo mišljenja, o kateri danes nekateri tako dvomijo.

Izmed številnih reprezentativnih vzorcev sem izbrala dva. Prvega od njih povezujemo s priimkom Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Toda poznal ga je (vzornik, ne Leibniz) srednjeveški hindujski učenjak Madhava iz Sangamagrama (1350-1425). Prenos informacij takrat ni bil velik – internetne povezave so bile pogosto hroščaste, baterij za mobilne telefone pa ni bilo (ker elektronika še ni bila izumljena!). Formula je lepa, vendar neuporabna za izračune. Iz stotih sestavin se jih dobi "le" 3,15159.

on je malo boljši wzór Viète'a (tista iz kvadratnih enačb), njeno formulo pa je enostavno programirati, ker je naslednji člen v produktu kvadratni koren prejšnjih plus dva.

Vemo, da je krog okrogel. Lahko rečemo, da gre za 100-odstotni krog. Matematik bo vprašal: ali lahko nekaj ni 1-odstotno okroglo? Očitno je to oksimoron, fraza, ki vsebuje skrito protislovje, kot je na primer vroč led. Poskusimo pa izmeriti, kako okrogle so lahko oblike. Izkazalo se je, da je dobro mero podana naslednja formula, v kateri je S površina in L obseg figure. Ugotovimo, da je krog res okrogel, da je sigma 6. Območje kroga je obseg. Vstavimo ... in vidimo, kaj je prav. Kako okrogel je kvadrat? Izračuni so prav tako preprosti, niti jih ne bom dal. Vzemite pravilen šesterokotnik, vpisan v krog s polmerom. Obod je očitno XNUMX.

Palica

Kaj pa navaden šesterokotnik? Njegov obseg je 6 in njegova površina

Torej imamo

kar je približno enako 0,952. Šesterokotnik je več kot 95% "okrogel".

Zanimiv rezultat dobimo pri izračunu okroglosti športnega stadiona. Po pravilih IAAF morajo biti ravnine in zavoji dolgi 40 metrov, vendar so dovoljena odstopanja. Spominjam se, da je bil stadion Bislet v Oslu ozek in dolg. Pišem "bil", ker sem celo tekel na njem (za amaterja!), vendar pred več kot XNUMX leti. Poglejmo si:

Če ima lok polmer 100 metrov, je polmer tega loka metrov. Površina trate je kvadratnih metrov, površina zunaj nje (kjer so odskočne deske) pa kvadratnih metrov. Vstavimo to v formulo:

Ali ima torej okroglost športnega stadiona kaj opraviti z enakostraničnim trikotnikom? Ker je višina enakostraničnega trikotnika enako število stranic. To je naključno naključje številk, vendar je lepo. Všeč mi je. In bralci?

No, dobro je, da je okrogel, čeprav bi nekateri ugovarjali, ker je virus, ki prizadene vse nas, okrogel. Vsaj tako jo narišejo.