obratni čar

Veliko se govori o »čaru nasprotij«, pa ne le v matematiki. Ne pozabite, da so nasprotna števila tista, ki se razlikujejo le po predznaku: plus 7 in minus 7. Vsota nasprotnih števil je nič. Toda za nas (t.j. matematike) so vzajemnosti bolj zanimive. Če je zmnožek števil enak 1, so ta števila med seboj inverzna. Vsako število ima svoje nasprotje, vsako število, ki ni nič, ima svojo inverzno. Vzajemnost vzajemnega je seme.

Inverzija se pojavi povsod, kjer sta dve količini povezani med seboj, tako da če se ena poveča, se druga zmanjša z ustrezno hitrostjo. "Relevantno" pomeni, da se produkt teh količin ne spremeni. Spomnimo se iz šole: to je obratno razmerje. Če želim dvakrat hitreje priti do cilja (tj. prepoloviti čas), moram podvojiti svojo hitrost. Če se prostornina zaprte posode s plinom zmanjša za n-krat, se bo njen tlak povečal za n-krat.

V osnovnošolskem izobraževanju natančno ločimo diferencialne in relativne primerjave. "Koliko več"? – “Kolikokrat več?”

Tukaj je nekaj šolskih dejavnosti:

1 opravilo. Od obeh pozitivnih vrednosti je prva 5-krat večja od druge in hkrati 5-krat večja od prve. Kakšne so dimenzije?

2 opravilo. Če je eno število za 3 večje od drugega in je drugo za 2 večje od tretjega, koliko je prvo število večje od tretjega? Če je prvo pozitivno število dvakrat drugo, prvo število pa trikrat tretje, kolikokrat je prvo število večje od tretjega?

3 opravilo. V nalogi 2 so dovoljena samo naravna števila. Je možna takšna ureditev, kot je tam opisana?

4 opravilo. Od obeh pozitivnih vrednosti je prva 5-krat večja od druge, druga pa 5-krat večja od prve. Ali je možno?

Koncept "povprečnega" ali "povprečnega" se zdi zelo preprost. Če sem v ponedeljek prekolesaril 55 km, v torek 45 km in v sredo 80 km, sem v povprečju kolesaril 60 km na dan. S temi izračuni se v celoti strinjamo, čeprav so malo čudni, ker v enem dnevu nisem prevozil 60 km. Enako zlahka sprejmemo deleže osebe: če dvesto ljudi obišče restavracijo v šestih dneh, potem je povprečna dnevna stopnja 33 in tretjina ljudi. HM!

Težave so samo s povprečno velikostjo. Rada kolesarim. Tako sem izkoristil ponudbo turistične agencije "Gremo z nami" - dostavijo prtljago v hotel, kjer se stranka rekreativno pripelje s kolesom. V petek sem vozil štiri ure: prvi dve s hitrostjo 24 km na uro. Potem sem se tako utrudila, da sem naslednja dva s hitrostjo samo 16 na uro. Kakšna je bila moja povprečna hitrost? Seveda (24+16)/2=20km=20km/h.

V soboto pa so prtljago pustili v hotelu, jaz pa sem si šel ogledat razvaline gradu, ki je oddaljen 24 km, in ko sem si jih ogledal, sem se vrnil. Vozil sem eno uro v eno smer, nazaj se vračal počasneje, s hitrostjo 16 km na uro. Kakšna je bila moja povprečna hitrost na relaciji hotel-grad-hotel? 20 km na uro? Seveda ne. Konec koncev sem prevozil skupno 48 km in mi je vzelo uro (»tam«) in uro in pol nazaj. 48 km v dveh urah in pol, t.j. ura 48/2,5=192/10=19,2 km! V tej situaciji povprečna hitrost ni aritmetična sredina, ampak harmonika danih vrednosti:

in to dvonadstropno formulo lahko beremo takole: harmonično sredino pozitivnih števil je recipročna vrednost aritmetične sredine njihove recipročne vrednosti. Vzajemna vrednost vsote vzajemnih vrednosti se pojavlja v številnih refrenih šolskih nalog: če en delavec izkoplje ure, drugi - b ur, potem, delajo skupaj, kopljejo pravočasno. vodni bazen (en na uro, drugi ob b urah). Če ima en upor R1, drugi pa R2, imata vzporedni upor. 

Če lahko en računalnik reši problem v nekaj sekundah, drugi računalnik v b sekundah, potem ko delata skupaj ...

Ustavi se! Tu se analogija konča, saj je vse odvisno od hitrosti omrežja: učinkovitosti povezav. Delavci si lahko tudi ovirajo ali si pomagajo. Če lahko en človek izkoplje vodnjak v osmih urah, ali lahko osemdeset delavcev to stori v 1/10 ure (ali 6 minut)? Če šest vratarjev odpelje klavir v prvo nadstropje v 6 minutah, koliko časa bo eden od njih potreboval, da bo klavir dostavil v šestdeseto nadstropje? Absurdnost tovrstnih problemov spominja na omejeno uporabnost vse matematike za probleme "iz življenja".

O močnem prodajalcu 

Tehtnice se ne uporabljajo več. Spomnimo se, da je bila utež postavljena na eno skledo takšne tehtnice, blago, ki so ga tehtali, pa na drugo, in ko je bila utež v ravnovesju, je blago tehtalo toliko kot teža. Seveda morata biti oba kraka uteži enako dolga, sicer bo tehtanje napačno.

Seveda. Predstavljajte si prodajalca, ki ima težo z neenakomernim vzvodom. Želi pa biti pošten do kupcev in blago stehta v dveh serijah. Najprej na eno ponev naloži utež, na drugo pa ustrezno količino blaga – da je tehtnica v ravnovesju. Nato stehta drugo "polovico" blaga v obratnem vrstnem redu, to pomeni, da utež položi na drugo skledo, blago pa na prvo. Ker so roke neenake, "polovice" nikoli niso enake. In vest prodajalca je čista, kupci pa hvalijo njegovo poštenost: "Kar sem tukaj odstranil, sem potem dodal."

Pa vendarle poglejmo pobližje vedenje prodajalca, ki kljub prekarni teži želi biti pošten. Naj imata kraka tehtnice dolžini a in b. Če je ena od skled naložena s kilogramsko utežjo, druga pa z x blagom, potem je tehtnica v ravnotežju, če je prvič ax = b in drugič bx = a. Torej, prvi del blaga je enak b / kilogram, drugi del je a / b. Dobra teža ima a = b, zato bo kupec prejel 2 kg blaga. Poglejmo, kaj se zgodi, ko je a ≠ b. Potem je a – b ≠ 0 in iz formule za pomanjšano množenje imamo

Prišli smo do nepričakovanega rezultata: na videz pravičen način »povprečenja« meritve v tem primeru deluje v korist kupca, ki prejme več blaga.

Naloga 5. (Pomembno, nikakor ne pri matematiki!). Komar tehta 2,5 miligrama, slon pa pet ton (to je povsem pravilen podatek). Izračunajte aritmetično sredino, geometrično sredino in harmonično sredino mase (uteži) komarjev in slona. Preverite izračune in preverite, ali imajo poleg računskih vaj še kakšen smisel. Poglejmo si še druge primere matematičnih izračunov, ki v »resničnem življenju« nimajo smisla. Nasvet: v tem članku smo si že ogledali en primer. Ali to pomeni, da je imel anonimni študent, katerega mnenje sem našel na internetu, prav: »Matematika preslepi ljudi s številkami«?

Ja, strinjam se, da v veličini matematike lahko "pretentate" ljudi - vsaka druga reklama šampona pravi, da poveča puhastost za kakšen odstotek. Ali naj poiščemo druge primere vsakodnevno uporabnih orodij, ki se lahko uporabljajo za kriminalne dejavnosti?

gramov!

Naslov tega odlomka je glagol (prva oseba množine) in ne samostalnik (imenik množine tisočinke kilograma). Harmonija pomeni red in glasbo. Za stare Grke je bila glasba veja znanosti – treba je priznati, da če tako rečemo, prenesemo sedanji pomen besede »znanost« v čas pred našo dobo. Pitagora je živel v XNUMX. stoletju pr.n.št.. Ne le da ni poznal računalnika, mobilnega telefona in elektronske pošte, ampak tudi ni vedel, kdo so Robert Lewandowski, Mieszko I., Karel Veliki in Ciceron. Ni poznal ne arabskih ne celo rimskih številk (v uporabo so prišle okoli XNUMX. stoletja pr.n.št.), ni vedel, kaj so bile punske vojne ... Poznal pa je glasbo ...

Vedel je, da so koeficienti tresljajev na strunah obratno sorazmerni z dolžino vibrirajočih delov strun. Vedel je, vedel je, preprosto ni mogel izraziti tega, kot to počnemo danes.

Frekvenci dveh vibracij strun, ki sestavljata oktavo, sta v razmerju 1:2, kar pomeni, da je frekvenca višje note dvakrat večja od frekvence nižje. Pravilno razmerje vibracij za peto je 2:3, četrto je 3:4, čista velika terca je 4:5, mala terca je 5:6. To so prijetni soglasniški intervali. Nato sta dva nevtralna, z razmerji nihanja 6:7 in 7:8, nato disonantna - veliki ton (8:9), mali ton (9:10). Ti ulomki (razmerja) so kot razmerja zaporednih členov zaporedja, ki ga matematiki (prav zaradi tega) imenujejo harmonični niz:

je teoretično neskončna vsota. Razmerje nihanj oktave lahko zapišemo kot 2:4 in med njimi postavimo kvinto: 2:3:4, to pomeni, da bomo oktavo razdelili na petino in četrtino. To se v matematiki imenuje harmonična segmentna delitev:

riž. 1. Za glasbenika: razdelitev oktave AB na peto AC.Za matematika: Harmonična segmentacija

Kaj mislim, ko govorim (zgoraj) o teoretično neskončni vsoti, kot je harmonična vrsta? Izkazalo se je, da je takšna vsota lahko poljubno veliko število, glavna stvar je, da dodajamo dolgo časa. Sestavine je vedno manj, a jih je vedno več. Kaj prevladuje? Tu vstopimo v področje matematične analize. Izkazalo se je, da so sestavine izčrpane, vendar ne zelo hitro. Pokazal bom, da lahko povzamem z dovolj sestavinami:

poljubno velik. Vzemimo "na primer" n = 1024. Združimo besede, kot je prikazano na sliki:

V vsakem oklepaju je vsaka beseda večja od prejšnje, razen seveda zadnje, ki je enaka sama sebi. V naslednjih oklepajih imamo 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 in 512 komponent; vrednost vsote v vsakem oklepaju je večja od ½. Vse to je več kot 5½. Natančnejši izračuni bi pokazali, da je ta znesek približno 7,50918. Ne veliko, vendar vedno, in lahko vidite, da lahko z n poljubno veliko presežem katero koli število. Ta je neverjetno počasen (na primer, samo s sestavinami smo na prvem mestu), a neskončna rast je matematike vedno navduševala.

Potovanje v neskončnost s harmonično serijo

Tukaj je uganka za precej resno matematiko. Imamo neomejeno zalogo pravokotnih blokov (kaj naj rečem, pravokotnih!) z dimenzijami, recimo, 4 × 2 × 1. Razmislite o sistemu, sestavljenem iz več (na sl. 2 - štirje) bloki, razporejeni tako, da je prvi nagnjen za ½ svoje dolžine, drugi od zgoraj za ¼ in tako naprej, tretji za eno šestino. No, morda, da bo res stabilen, prvo opeko malo manj nagnimo. Za izračune ni pomembno.

riž. 2. Določanje težišča

Prav tako je enostavno razumeti, da ker ima figura, sestavljena iz prvih dveh blokov (šteto od zgoraj), simetrično središče v točki B, je B težišče. Določimo geometrijsko težišče sistema, sestavljenega iz treh zgornjih blokov. Tukaj zadostuje zelo preprost argument. Sestavo treh blokov mentalno razdelimo na dva zgornja in tretjo spodnjo. To središče mora ležati na odseku, ki povezuje težišča obeh delov. V kateri točki te epizode?

Obstajata dva načina za določitev. V prvem bomo uporabili opažanje, da mora to središče ležati na sredini piramide treh blokov, torej na ravni črti, ki seka drugi, srednji blok. Na drugi način razumemo, da ker imata dva zgornja bloka skupno maso dvakrat večjo od enega samega bloka #3 (zgoraj), mora biti težišče na tem odseku dvakrat bližje B kot središču S tretjega bloka. Podobno najdemo naslednjo točko: najdeno središče treh blokov povežemo s središčem S četrtega bloka. Središče celotnega sistema je na višini 2 in na točki, ki deli segment z 1 proti 3 (to je za ¾ njegove dolžine).

Izračuni, ki jih bomo izvedli malo naprej, vodijo do rezultata, prikazanega na sl. slika 3. Zaporedna težišča se odstranijo z desnega roba spodnjega bloka z:

Tako je projekcija težišča piramide vedno znotraj osnove. Stolp se ne bo prevrnil. Zdaj pa poglejmo sl. 3 in za trenutek uporabimo kot osnovo peti blok od zgoraj (tisti, ki je označen s svetlejšo barvo). Zgornji nagnjeni:

tako je njen levi rob 1 dlje od desnega roba osnove. Tukaj je naslednji zamah:

Kaj je največji zamah? že vemo! Ni največjega! Če vzamete tudi najmanjše bloke, lahko dobite previs za en kilometer - na žalost le matematično: cela Zemlja ne bi bila dovolj, da bi zgradili toliko blokov!

riž. 3. Dodajte več blokov

Zdaj pa izračuni, ki smo jih pustili zgoraj. Vse razdalje bomo izračunali "horizontalno" na osi x, ker je to vse. Točka A (težišče prvega bloka) je 1/2 od desnega roba. Točka B (središče sistema dveh blokov) je 1/4 oddaljena od desnega roba drugega bloka. Naj bo izhodišče konec drugega bloka (zdaj bomo prešli na tretji). Na primer, kje je težišče posameznega bloka #3? Polovica dolžine tega bloka je torej 1/2 + 1/4 = 3/4 od naše referenčne točke. Kje je točka C? V dveh tretjinah odseka med 3/4 in 1/4, torej v točki pred tem, spremenimo referenčno točko na desni rob tretjega bloka. Težišče sistema treh blokov je zdaj odstranjeno iz nove referenčne točke itd. Težišče C_n stolp, sestavljen iz n blokov, je 1/2n oddaljen od trenutne referenčne točke, ki je desni rob osnovnega bloka, to je n-ti blok od vrha.

Ker se niz recipročnih vrednosti razlikuje, lahko dobimo katero koli veliko variacijo. Ali bi se to dejansko dalo izvesti? Je kot neskončen opečni stolp – prej ali slej se bo pod lastno težo podrl. V naši shemi minimalne netočnosti pri postavitvi blokov (in počasno povečanje delnih vsot serije) pomenijo, da ne bomo prišli daleč.