Lem, Tokarčuk, Krakov, matematika

Od 3. do 7. septembra 2019 je v Krakovu potekal jubilejni kongres Poljskega matematičnega društva. Obletnica, kajti stoletnica ustanovitve društva. V Galiciji je obstajala od 1. let (brez pridevka, da je imel poljsko-liberalizem cesarja FJ1919 svoje meje), kot vsenarodna organizacija pa je delovala šele od 1919. Velik napredek v poljski matematiki sega v leta 1939 XNUMX-XNUMX. XNUMX na Univerzi Jana Kazimirja v Lvovu, vendar konvencija tam ni mogla potekati – in tudi to ni najboljša ideja.

Srečanje je bilo zelo svečano, polno spremljevalnih dogodkov (med drugim nastop Jaceka Wojcickega na gradu v Niepolomicah). Osrednja predavanja je imelo 28 predavateljev. Bili so v poljščini, ker so bili povabljeni Poljaki – ne nujno v smislu državljanstva, ampak tako, da so se priznavali kot Poljaki. O ja, le trinajst predavateljev je prišlo iz poljskih znanstvenih ustanov, preostalih petnajst pa iz ZDA (7), Francije (4), Anglije (2), Nemčije (1) in Kanade (1). No, to je dobro poznan pojav v nogometnih ligah.

Najboljši nenehno nastopajo v tujini. Malo je žalostno, ampak svoboda je svoboda. Več poljskih matematikov je na Poljskem naredilo kariero v tujini nedosegljivo. Denar igra tu drugotnega pomena, a o takih temah ne želim pisati. Mogoče samo dva komentarja.

V Rusiji, pred tem pa v Sovjetski zvezi je bilo to in je na najbolj zavestni ravni ... in tja nekako noče nihče emigrirati. Po drugi strani pa se v Nemčiji za profesorsko mesto na kateri koli univerzi prijavi približno ducat kandidatov (kolegi z univerze v Konstanzu so povedali, da so imeli na leto 120 prijav, od tega 50 zelo dobrih, 20 pa odličnih).

Nekaj ​​jubilejnih kongresnih predavanj lahko povzamemo v našem mesečniku. Naslovi, kot so "Meje redkih grafov in njihove uporabe" ali "Linearna struktura in geometrija podprostorov in faktorskih prostorov za visokodimenzionalne normalizirane prostore", povprečnemu bralcu ne bodo povedali ničesar. Drugo temo je predstavil moj prijatelj s prvih tečajev, Nicole Tomchak.

Pred nekaj leti je bila nominirana za dosežek, predstavljen na tem predavanju. Fieldsova medalja je ekvivalent za matematike. Doslej je to nagrado prejela le ena ženska. Omeniti velja tudi predavanje Anna Marcinyak-Chohra (Univerza v Heidelbergu) "Vloga mehanističnih matematičnih modelov v medicini na primeru modeliranja levkemije".

vstopil v medicino. Na Univerzi v Varšavi je skupina pod vodstvom prof. Jerzy Tyurin.

Naslov predavanja bo bralcem nerazumljiv Veslava Niziol (z prestiżowej Višja pedagoška šola) “-adična teorija Hodgea". Kljub temu sem se odločil, da bom tukaj razpravljal o tem predavanju.

Geometrija - adični svetovi

Začne se s preprostimi malenkostmi. Se spomniš, bralec, metode pisne izmenjave? Vsekakor. Pomislite na brezskrbna leta osnovne šole. 125051 delite s 23 (to je dejanje na levi). Ali veste, da je lahko drugače (dejanje na desni)?

Ta nova metoda je zanimiva. Grem od konca. 125051 moramo deliti s 23. S čim moramo pomnožiti 23, da bo zadnja številka 1? Iskanje po pomnilniku in imamo :=7. Zadnja številka rezultata je 7. Pomnožimo, odštejemo, dobimo 489. Kako pomnožite 23, da na koncu dobite 9? Seveda do 3. Pridemo do točke, ko določimo vse številke rezultata. Zdi se nam nepraktična in težja od naše običajne metode – vendar je stvar prakse!

Stvari se obrnejo drugače, ko pogumni mož ni popolnoma razdeljen z delilnikom. Naredimo delitev in poglejmo, kaj se bo zgodilo.

Na levi je tipična šolska pot. Na desni je "naši čudni".

Oba rezultata lahko preverimo z množenjem. Prvo razumemo: ena tretjina števila 4675 je tisoč petsto oseminpetdeset in tri v obdobju. Drugo ni smiselno: kaj je pred tem številom neskončno število šestic in nato 8225?

Pustimo za trenutek vprašanje smisla. Igrajmo. Torej delimo 1 s 3 in nato 1 s 7, kar je ena tretjina in ena sedma. Z lahkoto dobimo:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ta zadnja vrstica pomeni: blok 285714 se na začetku ponavlja za nedoločen čas, na koncu pa so trije. Za tiste, ki ne verjamete, je tukaj test:

Zdaj dodajmo ulomke:

Nato seštejemo prejete čudne številke in dobimo (preverimo) isto čudno število.

......95238095238095238095238010

Lahko preverimo, ali je to enako

Bistvo je še vidno, a aritmetika je pravilna.

Še en primer.

Običajno, čeprav veliko število 40081787109376 ima zanimivo lastnost: njegov kvadrat se tudi konča na 40081787109376. število x40081787109376, ki je (x40081787109376)² konča se tudi na x40081787109376.

Nasvet. Imamo 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, torej naslednja številka je komplement od tri do deset, kar je 7. Preverimo: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Vprašanje, zakaj je temu tako, je težko. Lažje je: poiščite podobne končnice za števila, ki se končajo s 5. Če nadaljujete postopek iskanja naslednjih števk v nedogled, bomo prišli do takšnih "številk", da ²=²= (in nobeno od teh številk ni enako nič ali ena).

dobro razumemo. Dlje kot je za decimalno vejico, manj pomembno je število. Pri inženirskih izračunih je pomembna prva številka za decimalno vejico, pa tudi druga, vendar je v mnogih primerih mogoče domnevati, da je razmerje med obodom kroga in njegovim premerom 3,14. Seveda je treba v letalsko industrijo vključiti več številk, a mislim, da jih ne bo več kot deset.

Ime se je pojavilo v naslovu članka Stanislav Lem (1921-2006), pa tudi naš novi Nobelov nagrajenec. gospa Olga Tokarčuk To sem omenil samo zato, ker kričeča krivicaDejstvo je, da Stanislav Lem ni prejel Nobelove nagrade za književnost. Ampak ni v našem kotu.

Lem je pogosto predvideval prihodnost. Spraševal se je, kaj se bo zgodilo, ko bodo postali neodvisni od ljudi. Koliko filmov na to temo se je pojavilo v zadnjem času! Lem je precej natančno napovedal in opisal optični čitalnik in farmakologijo prihodnosti.

Matematiko je poznal, čeprav jo je včasih obravnaval kot okras, ne skrbi za pravilnost izračunov. Na primer, v zgodbi "The Trial" pilot Pirks gre v orbito B68 s časom vrtenja 4 ure 29 minut, navodilo pa je 4 ure 26 minut. Spominja se, da so izračunali z napako 0,3 odstotka. Podatke da v kalkulator, kalkulator pa odgovori, da je vse v redu ... No, ne. Tri desetinke odstotka 266 minut so manj kot minuta. Toda ali ta napaka kaj spremeni? Mogoče je bilo namerno?

Zakaj pišem o tem? Mnogi matematiki so postavili tudi to vprašanje: predstavljajte si skupnost. Nimajo našega človeškega uma. Za nas sta 1609,12134 in 1609,23245 zelo blizu številki - dobri približki angleški milji. Vendar pa lahko računalniki menijo, da sta številki 468146123456123456 in 9999999123456123456 blizu. Imajo enake dvanajstmestne končnice.

Bolj pogoste so številke na koncu, bližje so številke. In to vodi do tako imenovane razdalje -adic. Naj bo p za trenutek enak 10; zakaj samo "za nekaj časa", bom razložil ... zdaj. Razdalja 10 točk zgoraj zapisanih števil je 

ali milijoninka - ker imajo te številke šest skupnih števk na koncu. Vsa cela števila se od nič razlikujejo za ena ali manj. Sploh ne bom napisal predloge, ker je vseeno. Več kot je enakih številk na koncu, bližje so številke (za osebo, nasprotno, veljajo začetne številke). Pomembno je, da je p praštevilo.

Potem – radi imajo ničle in enice, zato vse vidijo v teh vzorcih: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

V romanu Glos Pana Stanisław Lem najame znanstvenike, da poskušajo prebrati sporočilo, poslano iz posmrtnega življenja, seveda šifrirano nič-ena. Nam kdo piše? Lem trdi, da "lahko preberemo vsako sporočilo, če je sporočilo, da nam je nekdo želel nekaj povedati." Toda ali je? Bralce bom pustil pri tej dilemi.

Živimo v XNUMXD prostoru R³. pismo R opozarja, da so osi sestavljene iz realnih števil, torej celih števil, negativnih in pozitivnih, nič, racionalnih (tj. ulomkov) in iracionalnih, ki so jih bralci srečali v šoli (), in številk, znanih kot transcendentna števila, nedostopna v algebri (to je število π , ki že več kot dva tisoč let povezuje premer kroga z njegovim obsegom).

Kaj če bi bile osi našega prostora -adične številke?

Jerzy Mioduszowski, matematik na univerzi v Šleziji, trdi, da bi lahko bilo tako in celo da bi lahko bilo tako. S takšnimi bitji lahko (pravi Jerzy Mioduszewski) zasedemo isto mesto v prostoru, ne da bi se vmešavali in ne videli drug drugega.

Torej imamo za raziskovanje vso geometrijo "njihovega" sveta. Malo verjetno je, da »oni« o nas razmišljajo enako in tudi preučujejo našo geometrijo, saj je naš mejni primer vseh »njihovih« svetov. "Oni", torej vsi peklenski svetovi, kjer so praštevili. Zlasti = 2 in ta fascinanten svet nič-ena ...

Tu lahko bralec članka postane jezen in celo jezen. "Ali so to takšne neumnosti, ki jih delajo matematiki?" Fantazirajo o tem, da po večerji pijejo vodko in porabijo moj (=davkoplačevalski) denar. In jih razprši v štiri vetrove, naj gredo na državne kmetije ... oh, državnih kmetij ni več!

Sprostite se. vedno so imeli nagnjenost k takim šalam. Naj omenim samo izrek o sendviču: če imam sendvič s sirom in šunko, ga lahko razrežem na en rez, da prepolovim žemljico, šunko in sir. To je v praksi neuporabno. Bistvo je, da je to le igriva uporaba zanimivega splošnega izreka iz funkcionalne analize.

Kako resno se je ukvarjati z -adnimi števili in povezano geometrijo? Naj bralca spomnim, da racionalna števila (poenostavljeno: ulomki) ležijo gosto na premici, vendar je ne zapolnjujejo tesno.

Iracionalne številke živijo v "luknjah". Veliko jih je, neskončno veliko, lahko pa rečemo tudi, da je njihova neskončnost večja od tiste najpreprostejših, pri katerih štejemo: ena, dva, tri, štiri ... in tako naprej do ∞. To je naše človeško zapolnjevanje "luknj". To mentalno strukturo smo podedovali od pitagorejci. 

Za matematika pa je zanimivo in pomembno, da teh lukenj ni mogoče "zapolniti" z iracionalnimi in p-adnimi števili (za vse praštevile p). Za tiste bralce, ki to razumejo (in tega so učili v vsaki srednji šoli pred tridesetimi leti), je bistvo, da vsako zaporedje, ki izpolnjuje Cauchyjevo stanje, konvergira.

Prostor, v katerem je to res, se imenuje popoln (»nič ne manjka«). Zapomnil si bom številko 547721051611007740081787109376.

Zaporedje 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 in tako naprej se približa določeni meji, ki je približno 0,5477210516110077400 81787109376.

Vendar pa se z vidika 10-adične razdalje zaporedje številk 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 in tako naprej konvergira tudi k "čudnemu" številu ... 547721051 611007740081787109376.

A tudi to morda ni dovolj razloga, da bi znanstvenikom dali javni denar. Nasploh se (matematiki) branimo s tem, da je nemogoče predvideti, za kaj bo naša raziskava koristna. Skoraj gotovo je, da bodo vsi koristni in da ima le širše delovanje možnosti za uspeh.

Eden največjih izumov, rentgenski aparat, je nastal po naključju odkritja radioaktivnosti Bekkerela. Če ne bi bilo tega primera, bi bile dolgoletne raziskave verjetno neuporabne. "Iščemo način, kako narediti rentgenski posnetek človeškega telesa."

Končno, najpomembnejša stvar. Vsi se strinjajo, da sposobnost reševanja enačb igra vlogo. In tukaj so naše čudne številke dobro zaščitene. Ustrezni izrek (Sovražim Minkowskega) pravi, da je nekatere enačbe mogoče rešiti v racionalnih številih, če in samo če imajo realne korenine in korenine v vsakem -adičnem telesu.

Ta pristop je bil bolj ali manj predstavljen Andrew Wiles, ki je rešil najbolj znano matematično enačbo zadnjih tristo let - bralcem priporočam, da jo vnesejo v iskalnik "Fermatov zadnji izrek".