Koronavirus in matematična vzgoja – delno naročene zbirke

Virus, ki nas je prizadel, spodbuja hitro reformo izobraževanja. predvsem na višjih stopnjah izobraževanja. Na to temo lahko napišete daljši esej, zagotovo bo tok doktorskih disertacij o metodologiji učenja na daljavo. Z določenega vidika je to vrnitev h koreninam in k pozabljenim navadam samoučenja. Tako je bilo na primer v gimnaziji Kremenec (v Kremencu, danes v Ukrajini, ki je obstajala v letih 1805-31, vegetirala do leta 1914 in doživela svoj razcvet v letih 1922-1939). Dijaki so se tam učili sami – šele ko so se naučili, so prihajali učitelji s popravki, končnimi pojasnili, pomočjo na težkih mestih itd. e) Ko sem postal študent, so tudi govorili, da moramo znanje pridobivati ​​sami, da samo naročamo in pošiljamo predavanja na univerzo. Ampak takrat je bila to le teorija ...

Spomladi 2020 nisem edini, ki je ugotovil, da je mogoče pouk (vključno s predavanji, vajami ipd.) zelo učinkovito izvajati na daljavo (Google Meet, Microsoft Teams ipd.), za ceno veliko dela. na strani učitelja in zgolj želja po »izobrazbi« na drugi strani; pa tudi z nekaj udobja: sedim doma, na svojem stolu, na tradicionalnih predavanjih pa so študentje pogosto počeli tudi kaj drugega. Učinek takšnega usposabljanja je lahko celo boljši kot pri tradicionalnem, še v srednjem veku, razredno-učnem sistemu. Kaj bo ostalo od njega, ko bo virus šel k vragu? Mislim ... kar veliko. Ampak bomo videli.

Danes bom govoril o delno urejenih množicah. Enostavno je. Ker binarno relacijo v neprazni množici X imenujemo relacija delnega reda, če obstaja

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozof,

Predsednik Poljske akademije znanosti v letih 1957–1962).

1. Refleksivno, tj. za vsak ∈ obstaja ",
2. Mimoidoči, tj. če ", in ", potem ",
3. Pol asimetrična, tj. ("∧")→ =

Niz je niz z naslednjo lastnostjo: za katera koli dva elementa je ta niz "ali y". Antichain je ...

Nehaj, nehaj! Je kaj od tega mogoče razumeti? Seveda je. Toda ali je kdo od Bralcev (če drugače ve) že razumel, kaj je tukaj?

Ne misli! In to je kanon poučevanja matematike. Tudi v šoli. Najprej dostojna, stroga definicija, potem pa bodo tisti, ki niso zaspali od dolgčasa, zagotovo nekaj razumeli. To metodo so vsilili "veliki" učitelji matematike. Mora biti previden in strog. Res je, da tako mora biti na koncu. Matematika mora biti eksaktna znanost (Poglej tudi: ).

Moram priznati, da sem na univerzi, kjer delam po upokojitvi na Univerzi v Varšavi, toliko let tudi poučeval. Le v njem je bilo razvpito vedro mrzle vode (naj tako ostane: vedro je bilo potrebno!). Nenadoma je visoka abstrakcija postala lahkotna in prijetna. Nastavite pozornost: enostavno ne pomeni enostavno. Tudi lahki boksar ima težke čase.

Nasmehnem se svojim spominom. Osnove matematike me je učil takratni dekan oddelka, prvovrstni matematik, ki je pravkar prispel z daljšega bivanja v ZDA, kar je bilo za tisti čas samo po sebi nekaj izjemnega. Mislim, da je bila malo snobovska, ko je malo pozabila na poljščino. Zlorabila je staro poljsko "kaj", "zato", "azalea" in skovala izraz: "pol-asimetrično razmerje". Rad ga uporabljam, res je natančen. Všeč mi je. Tega pa od študentov ne zahtevam. To se običajno imenuje "nizka antisimetrija". Deset lepih.

Že dolgo nazaj, saj je v sedemdesetih (prejšnjega stoletja) prišlo do velike, vesele reforme pouka matematike. To je sovpadlo z začetkom kratkega obdobja vladavine Eduarda Giereka - določenega odpiranja naše države svetu. »Otroke je mogoče učiti tudi višje matematike,« so vzkliknili Veliki učitelji. Za otroke je bil sestavljen povzetek univerzitetnega predavanja "Osnove matematike". To ni bil trend samo na Poljskem, ampak po vsej Evropi. Reševanje enačbe ni bilo dovolj, razložiti je bilo treba vsako podrobnost. Da ne bomo neutemeljeni, lahko vsak od bralcev reši sistem enačb:

študentje pa so morali vsak korak utemeljiti, se sklicevati na relevantne trditve itd. To je bil klasičen presežek forme nad vsebino. Zdaj mi je enostavno kritizirati. Tudi sam sem bil nekoč zagovornik tega pristopa. Razburljivo je ... za mlade, ki jih matematika navdušuje. To je seveda bilo (in za nameček še jaz).

A dovolj z liričnimi stranpoti, pojdimo k stvari: predavanje, ki je bilo »teoretično« namenjeno študentkam drugega letnika Politehnike in bi bilo, če ne nje, suho kot kokosovi kosmiči. malo pretiravam...

Dobro jutro za vas. Današnja tema je delno čiščenje. Ne, to ni namig na malomarno čiščenje. Najboljša primerjava bi bila razmislek, kaj je boljše: paradižnikova juha ali kremna torta. Odgovor je jasen: odvisno od česa. Za sladico - piškoti in za hranljivo jed: juha.

Pri matematiki se ukvarjamo s številkami. Urejeni so: so večji in manjši, vendar je od dveh različnih števil vedno eno manjše, kar pomeni, da je drugo večje. Razporejeni so po vrstnem redu, kot črke v abecedi. V razrednem dnevniku je vrstni red lahko naslednji: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (so prijatelji in sošolci iz mojega razreda!). Prav tako ne dvomimo, da Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Simbol za "dvojno neenakost" ima pomen "pred".

V mojem popotniškem klubu se trudimo, da so seznami po abecedi, vendar po imenih, na primer Alina Wronska "Warbara Kaczarska", Cesar Bouschitz itd. V uradnih evidencah bi bil vrstni red obrnjen. Matematiki abecedni red imenujejo leksikografski (leksik je bolj ali manj podoben slovarju). Po drugi strani pa je takšen red, v katerem pri imenu, sestavljenem iz dveh delov (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky), najprej pogledamo drugi del, za matematike antileksikografski red. Dolgi naslovi, a zelo preprosta vsebina.

1. Vrstni red: postaje in postajališča na železnici Habovka-Zakopane od Podhale, zgrajene leta 1899 (dekodiranje okrajšav prepuščam bralcu).

Vsa takšna naročila se imenujejo linijska naročila. Naročamo po vrsti: prvi, drugi, tretji. Vse je v redu, od prve do zadnje točke. Ni vedno smiselno. Navsezadnje knjige v knjižnici ne razporejamo tako, ampak po oddelkih. Le znotraj oddelka razporejamo linearno (običajno po abecedi).

2. Linearni vrstni red: pri zagonu avtomobilskega motorja izvajamo dejanja v doslednem vrstnem redu.

Pri večjih projektih, predvsem pri timskem delu, nimamo več linearnega reda. Poglejmo si sl. 3. Želimo zgraditi manjši hotel. Denar že imamo (celica 0). Pripravljamo dovoljenja, zbiramo materiale, začnemo z gradnjo, hkrati pa izvajamo oglaševalsko akcijo, iščemo zaposlene in še in še. Ko dosežemo "10", se lahko prijavijo prvi gostje (primer iz zgodb g. Dombrowskega in njihovega majhnega hotela v predmestju Krakova). Imamo nelinearni red – nekatere stvari se lahko dogajajo vzporedno.

Pri ekonomiji boste spoznali koncept kritične poti. To je nabor dejanj, ki jih je treba izvajati zaporedno (in temu se v matematiki reče veriga, več o tem kmalu) in ki vzamejo največ časa. Skrajšanje časa gradnje je reorganizacija kritične poti. A o tem več na drugih predavanjih (spominjam, da berem “univerzitetno predavanje”). Osredotočeni smo na matematiko.

Diagrami, kot je slika 3, se imenujejo Hassejevi diagrami (Helmut Hasse, nemški matematik, 1898–1979). Vsak kompleksen napor je treba načrtovati na ta način. Vidimo zaporedja dejanj: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematiki jih imenujejo strune. Celotna ideja je sestavljena iz štirih verig. V nasprotju s tem so skupine dejavnosti 1-2-3-4, 5-6-7 in 8-9 antiverige. Tako se imenujejo. Dejstvo je, da v določeni skupini nobeno dejanje ni odvisno od prejšnjega.

4. To je tudi Hassejev diagram.

pojdimo na slika 4. Kaj je impresivno? Lahko pa je zemljevid metroja v kakšnem mestu! Podzemne železnice so vedno združene v proge – ne prehajajo iz ene v drugo. Vrstice so ločene vrstice. V mestu Fig. 4 je peči vrstica (zapomni si to peči napisano je "boldem" - v poljščini se imenuje pol-debel).

Na tem diagramu (slika 4) je kratek rumeni ABF, ACFPS s šestimi postajami, zeleni ADGL, modri DGMRT in najdaljši rdeč. Matematik bo rekel: ta Hassejev diagram ima peči verige. Na rdeči črti je sedem postaja: AEINRUW. Kaj pa antiverige? Tukaj so sedem. Bralec je že opazil, da sem besedo dvakrat podčrtal sedem.

Pričakovanje to je tak nabor postaj, da je nemogoče priti z ene na drugo brez prestopanja. Ko malo "razumemo", bomo videli naslednje antiverige: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Prosimo preverite, na primer, ni mogoče potovati s katere koli od postaj BCLTV na drugo BCTLV brez spremembe, natančneje: ne da bi se morali vrniti na postajo, prikazano spodaj. Koliko antiverig je tam? sedem. Kakšna velikost je največja? Pečemo (spet krepko).

Lahko si mislite, učenci, da naključje teh številk ni naključje. to. To je leta 1950 odkril in dokazal (torej vedno tako) Robert Palmer Dilworth (1914–1993, ameriški matematik). Število vrstic, potrebnih za pokritje celotnega niza, je enako velikosti največje antiverige in obratno: število antiverig je enako dolžini najdaljše antiverige. To je vedno tako v delno urejeni množici, tj. ki ga je mogoče vizualizirati. Hassegov diagram. To ni povsem stroga in pravilna definicija. Temu matematiki pravijo "delovna definicija". To se nekoliko razlikuje od "delovne definicije". To je namig, kako razumeti delno urejene množice. To je pomemben del vsakega usposabljanja: poglejte, kako deluje.

Angleška okrajšava je - ta beseda v slovanskih jezikih zveni lepo, malo kot bodika. Upoštevajte, da je bodika tudi razvejana.

Zelo lepo, ampak kdo ga potrebuje? Vi, dragi študenti, jo potrebujete za opravljanje izpita in verjetno je to dovolj dober razlog, da se je učite. Poslušam, kakšna vprašanja? Poslušam, gospod izpod okna. Oh, vprašanje je, ali bo to kdaj koristilo Gospodu v tvojem življenju? Morda ne, ampak za pametnejšega od vas zagotovo ... Morda za kritično analizo poti v kompleksnem gospodarskem projektu?

To besedilo pišem sredi junija, na Univerzi v Varšavi potekajo volitve rektorja. Prebral sem več komentarjev uporabnikov interneta. Sovraštva (ali »sovraštva«) do »izobraženih« je presenetljivo veliko. Nekdo je brez dlake na jeziku zapisal, da fakultetno izobraženi vedo manj kot fakultetno izobraženi. V razpravo se seveda ne bom spuščal. Žalostno mi je le, da se v Ljudski republiki Poljski vrača ustaljeno mnenje, da se da vse narediti s kladivom in dletom. Vračam se k matematiki.

Dillworthov izrek ima več zanimivih uporab. Eden od njih je znan kot zakonski izrek.sl. 6). 

Skupina žensk (bolj deklet) in malo večja skupina moških. Vsako dekle si misli nekaj takega: "S tem bi se lahko poročila, za drugega, ampak nikoli v življenju za tretjega." In tako naprej, vsak ima svoje želje. Narišemo diagram, ki vodi do vsakega od njih puščico od fanta, ki ga ne zavrne kot kandidata za oltar. V: Ali je mogoče pare uskladiti tako, da vsaka najde moža, ki ga sprejme?

Izrek Philipa Halla, pravi, da je to možno – pod določenimi pogoji, o katerih pa tu ne bom razpravljal (takrat na naslednjem predavanju, študentje, prosim). Upoštevajte pa, da zadovoljstvo moških tukaj sploh ni omenjeno. Kot veste, so ženske tiste, ki nas izbirajo, in ne obratno, kot se nam zdi (spomnim vas, da sem avtorica, ne avtorica).

Malo resne matematike. Kako Hallov izrek sledi Dilworthu? Je zelo preprosto. Ponovno poglejmo sliko 6. Verige tam so zelo kratke: imajo dolžino 2 (tečejo v smeri). Komplet možičkov je antiveriga (prav zato, ker so puščice samo proti). Tako lahko celotno zbirko prekrijete s toliko antiverigami, kolikor je moških. Tako bo vsaka ženska imela puščico. In to pomeni, da se lahko zdi kot fant, ki ga sprejema!!!

Čakaj, nekdo vpraša, je to vse? Je vse to aplikacija? Hormoni se bodo že nekako dogovorili in zakaj matematika? Prvič, to ni celotna aplikacija, ampak le ena iz velike serije. Poglejmo enega izmed njih. Naj (slika 6) ne pomeni predstavnikov lepšega spola, temveč precej prozaične kupce, in to so blagovne znamke, na primer avtomobili, pralni stroji, izdelki za hujšanje, ponudbe turističnih agencij itd. Vsak kupec ima znamke, ki jih sprejme in zavrne. Ali je mogoče kaj narediti, da se vsem nekaj proda in kako? Tu pa se ne končajo le šale, ampak tudi znanje avtorja članka na to temo. Vem le, da analiza temelji na precej zapleteni matematiki.

Poučevanje matematike v šoli je poučevanje algoritmov. To je pomemben del učenja. Toda počasi se premikamo k učenju ne toliko matematike kot matematične metode. Današnje predavanje je bilo ravno o tem: govorimo o abstraktnih miselnih konstrukcijah, razmišljamo o vsakdanjem življenju. Govorimo o verigah in antiverigah v množicah z inverznimi, tranzitivnimi in drugimi relacijami, ki jih uporabljamo v modelih prodajalec-kupec. Računalnik bo vse izračunal namesto nas. Matematičnih modelov še ne bo ustvarjal. Še vedno zmagujemo s svojim razmišljanjem. Kakorkoli, upam, da čim dlje!