Geometrijske poti in goščave

Med pisanjem tega članka sem se spomnil na zelo staro pesem Jana Pietrzaka, ki jo je pel pred svojo satirično dejavnostjo v kabareju Pod Egidą, ki je bil v Ljudski republiki Poljski priznan kot varnostni ventil; človek bi se lahko pošteno smejal paradoksom sistema. Avtor je v tej pesmi priporočal socialistično politično participacijo, zasmehoval tiste, ki želijo biti apolitični, in ugasnil radio v časopisu. "Bolje se je vrniti k šolskemu branju," je ironično zapel takrat XNUMX-letni Petshak.

Vračam se k šolskemu branju. Ponovno berem (ne prvič) knjigo Ščepana Jelenskega (1881-1949) "Lylavati". Malokaterim bralcem že sama beseda nekaj pove. To je ime hčerke slavnega hindujskega matematika Bhaskara (1114-1185), imenovane Akaria, ali modreca, ki je s tem imenom naslovil svojo knjigo o algebri. Lilavati je pozneje tudi sama postala znana matematika in filozofinja. Po drugih virih je knjigo napisala sama.

Szczepan Yelensky je dal isti naslov svoji knjigi o matematiki (prva izdaja, 1926). To knjigo je morda celo težko imenovati matematično delo - bila je bolj skupek ugank in v veliki meri prepisana iz francoskih virov (avtorske pravice v sodobnem smislu niso obstajale). Vsekakor je bila dolga leta edina popularna poljska knjiga o matematiki – pozneje so ji dodali drugo knjigo Jelenskega, Pitagorove sladkarije. Tako da mladi, ki jih zanima matematika (kar sem nekoč bil jaz), niso imeli na izbiro ...

po drugi strani pa je bilo treba "Lilavati" znati skoraj na pamet ... Ah, bili so časi ... Njihova največja prednost je bila, da sem bil takrat ... najstnik. Danes z vidika izobraženega matematika na Lilavati gledam povsem drugače - morda kot plezalec na ovinkih poti na Shpiglasovo Pshelench. Ne eno ne drugo ne izgubi svojega čara ... V svojem značilnem slogu Ščepan Jelenski, ki v svojem osebnem življenju izpoveduje tako imenovane nacionalne ideje, v predgovoru piše:

Ne da bi se dotaknil opisa nacionalnih značilnosti, bom rekel, da tudi po devetdesetih letih besede Yelenskega o matematiki niso izgubile svoje pomembnosti. Matematika te uči razmišljati. To je dejstvo. Vas lahko naučimo razmišljati drugače, preprosteje in lepše? Mogoče je. Samo... še vedno ne moremo. Svojim dijakom, ki ne želijo opravljati matematike, razlagam, da je to tudi preizkus njihove inteligence. Če se ne moreš naučiti res preproste matematične teorije, potem... so morda tvoje umske sposobnosti slabše, kot bi si oba želela...?

Znaki v pesku

In tu je prva zgodba v "Lylavati" - zgodbi, ki jo je opisal francoski filozof Joseph de Maistre (1753-1821).

Mornarja z razbitine ladje so valovi vrgli na prazno obalo, za katero je menil, da ni naseljena. Nenadoma je v obalnem pesku zagledal sled geometrijske figure, ki je bila narisana pred nekom. Takrat je spoznal, da otok ni zapuščen!

Yelensky piše de Mestrija: geometrijska figurato bi bil nem izraz za nesrečnega, brodolomca, naključje, vendar mu je na prvi pogled pokazal razmerje in število, in to je napovedovalo razsvetljenega človeka. Toliko o zgodovini.

Upoštevajte, da bo mornar povzročil enako reakcijo, na primer z risanjem črke K, ... in morebitnih drugih sledi prisotnosti osebe. Tukaj je geometrija idealizirana.

Vendar je astronom Camille Flammarion (1847-1925) predlagal, da se civilizacije pozdravljajo od daleč z uporabo geometrije. V tem je videl edini pravilen in možen poskus komunikacije. Takim Marsovcem pokažimo pitagorejske trikotnike... oni nam bodo odgovorili s Thalesom, mi jim bomo odgovorili z vzorci Vieta, njihov krog se bo prilegal v trikotnik, tako se je začelo prijateljstvo...

K tej ideji so se vrnili pisatelji, kot sta Jules Verne in Stanislav Lem. In leta 1972 so bile ploščice z geometrijskimi (in ne samo) vzorci postavljene na sondo Pioneer, ki še vedno prečka vesolje, zdaj skoraj 140 astronomskih enot od nas (1 I je povprečna oddaljenost Zemlje od Zemlje) . Sonce, to je približno 149 milijonov km). Ploščico je deloma zasnoval astronom Frank Drake, ustvarjalec kontroverznega pravila o številu nezemeljskih civilizacij.

Geometrija je neverjetna. Vsi poznamo splošno stališče o izvoru te znanosti. Mi (ljudje) smo šele začeli meriti zemljo (in kasneje zemljo) za najbolj uporabne namene. Določanje razdalj, risanje ravnih črt, označevanje pravih kotov in izračunavanje prostornine so postopoma postali nuja. Od tod vse skupaj geometrija ("Merjenje zemlje"), torej vsa matematika ...

Vendar nas je nekaj časa ta jasna slika zgodovine znanosti zameglila. Kajti če bi bila matematika potrebna zgolj za operativne namene, se ne bi ukvarjali z dokazovanjem preprostih izrekov. »Vidite, da bi to sploh moralo biti res,« bi rekli po preverjanju, da je v več pravokotnih trikotnikih vsota kvadratov hipotenuz enaka kvadratu hipotenuze. Zakaj tak formalizem?

Slivova pita mora biti okusna, računalniški program mora delovati, stroj mora delovati. Če sem tridesetkrat preštel kapaciteto soda in je vse v redu, zakaj drugače?

Medtem je starim Grkom prišlo na misel, da je treba najti nekaj formalnih dokazov.

Torej, matematika se začne s Thalesom (625-547 pr.n.št.). Domneva se, da se je Milet začel spraševati, zakaj. Pametnim ljudem ni dovolj, da so nekaj videli, da so v nekaj prepričani. Videli so potrebo po dokazovanju, logičnem zaporedju argumentov od predpostavke do teze.

Želeli so tudi več. Verjetno je bil Thales tisti, ki je prvi poskušal razložiti fizične pojave na naturalističen način, brez božjega posredovanja. Evropska filozofija se je začela s filozofijo narave – s tistim, kar je že za fiziko (od tod tudi ime: metafizika). Toda temelje evropske ontologije in naravne filozofije so postavili Pitagorejci (Pitagora, ok. 580-ok. 500 pr.n.št.).

Svojo šolo je ustanovil v Crotoneju na jugu Apeninskega polotoka – danes bi temu rekli sekta. Znanost (v trenutnem pomenu besede), mistika, religija in fantazija so tesno prepleteni. Thomas Mann je v romanu Doktor Faustus zelo lepo predstavil pouk matematike v nemški gimnaziji. Ta fragment v prevodu Marije Kuretske in Witolda Virpshe se glasi:

V zanimivi knjigi Charlesa van Dorena Zgodovina znanja od zore zgodovine do danes sem našel zelo zanimivo stališče. V enem od poglavij avtor opisuje pomen pitagorejske šole. Presenetil me je že naslov poglavja. Piše: "Izum matematike: Pitagorejci".

Pogosto razpravljamo o tem, ali se matematične teorije odkrivajo (npr. neznane dežele) ali izumljajo (npr. stroji, ki prej niso obstajali). Nekateri ustvarjalni matematiki se vidijo kot raziskovalci, drugi kot izumitelji ali oblikovalci, manj pogosto števci.

Toda avtor te knjige piše o izumu matematike na splošno.

Od pretiravanja do zablode

Po tem dolgem uvodnem delu bom prešel na sam začetek. geometrijaopisati, kako lahko pretirano zanašanje na geometrijo zavede znanstvenika. Johannes Kepler je v fiziki in astronomiji znan kot odkritelj treh zakonov gibanja nebesnih teles. Prvič, vsak planet v sončnem sistemu se giblje okoli sonca po eliptični orbiti, v enem od žarišč katere je sonce. Drugič, v rednih intervalih vodilni žarek planeta, potegnjen od Sonca, riše enaka polja. Tretjič, razmerje med kvadratom obdobja vrtenja planeta okoli Sonca in kocko velike pol osi njegove orbite (tj. povprečna oddaljenost od Sonca) je konstantno za vse planete v sončnem sistemu.

Morda je bil to tretji zakon – za njegovo vzpostavitev je bilo potrebno veliko podatkov in izračunov, kar je Keplerja spodbudilo k nadaljnjemu iskanju vzorcev v gibanju in položaju planetov. Zgodovina njegovega novega "odkritja" je zelo poučna. Že od antike smo občudovali ne le pravilne poliedre, ampak tudi argumente, ki kažejo, da jih je v vesolju le pet. Tridimenzionalni polieder se imenuje pravilen, če so njegove ploskve enake pravilne mnogokotnike in ima vsako oglišče enako število robov. Ilustrativno naj bi vsak vogal pravilnega poliedra "izgledal enako". Najbolj znan polieder je kocka. Vsak je videl navaden gleženj.

Pravilni tetraeder je manj znan, v šoli pa ga imenujejo pravilna trikotna piramida. Izgleda kot piramida. Preostali trije pravilni poliedri so manj znani. Oktaeder nastane, ko povežemo središča robov kocke. Dodekaeder in ikosaeder sta že videti kot kroglice. Narejene iz mehkega usnja bi bile udobne za kopanje. Utemeljitev, da razen petih Platonovih teles ni pravilnih poliedrov, je zelo dobra. Najprej ugotovimo, da če je telo pravilno, se mora enako število (naj q) enakih pravilnih mnogokotnikov zbližati na vsakem točku, naj bodo to p-kotniki. Zdaj se moramo spomniti, kakšen je kot v pravilnem mnogokotniku. Če se kdo ne spomni iz šole, vas spomnimo, kako najti pravi vzorec. Potovali smo za vogalom. Na vsakem točku zavijemo skozi enak kot a. Ko gremo okrog poligona in se vrnemo na izhodišče, smo naredili p takih zavojev in skupaj smo se obrnili za 360 stopinj.

Toda α je 180 stopinjski dodatek kotu, ki ga želimo izračunati, in je zato

Našli smo formulo za kot (matematik bi rekel: mere kota) pravilnega mnogokotnika. Preverimo: v trikotniku p = 3 ni a

Všečkaj to. Ko je p = 4 (kvadrat), potem

stopinj je tudi v redu.

Kaj dobimo za peterokotnik? Kaj se torej zgodi, ko je q poligonov, pri čemer ima vsak p enake kote

 stopinj, padajočih na enem točku? Če bi bil na ravnini, bi nastal kot

stopinj in ne sme biti več kot 360 stopinj – ker se potem mnogokotnika prekrivata.

Ker pa se ti poligoni srečajo v prostoru, mora biti kot manjši od polnega kota.

In tukaj je neenakost, iz katere vse sledi:

Razdelite ga s 180, oba dela pomnožite s p, razvrstite (p-2) (q-2) < 4. Kaj sledi? Zavedajmo se, da morata biti p in q naravni števili in da je p > 2 (zakaj? In kaj je p?) in tudi q > 2. Ni veliko načinov, kako narediti zmnožek dveh naravnih števil manjši od 4. vse jih bomo našteli v tabeli 1.

Ne objavljam risb, te številke lahko vsak vidi na internetu ... Na internetu ... Ne bom zavrnil liričnega odmika - morda je zanimivo za mlade bralce. Leta 1970 sem govoril na seminarju. Tema je bila težka. Imel sem malo časa za priprave, zvečer sem sedel. Glavni članek je bil na mestu samo za branje. Lokal je bil prijeten, delovno vzdušje, no, zaprlo se je ob sedmih. Potem se je nevesta (zdaj moja žena) sama ponudila, da zame prepiše celoten članek: približno ducat natisnjenih strani. Prepisala sem (ne, ne s peresom, celo peresa smo imeli), predavanje je uspelo. Danes sem poskušal najti to publikacijo, ki je že stara. Spomnim se le imena avtorja... Iskanje po internetu je trajalo dolgo...polnih petnajst minut. O tem razmišljam z nasmeškom in malo neupravičenega obžalovanja.

Vračamo se k Keplera in geometrija. Očitno je Platon napovedal obstoj pete pravilne oblike, ker mu je manjkalo nečesa, ki združuje, kar bi pokrivalo ves svet. Morda je zato naročil študentki (Theajtet), naj jo poišče. Kakor je bilo, tako je bilo, na podlagi katerega je bil odkrit dodekaeder. To stališče Platona imenujemo panteizem. Vsi znanstveniki, vse do Newtona, so mu v večji ali manjši meri podlegli. Od zelo racionalnega XNUMX. stoletja se je njen vpliv drastično zmanjšal, čeprav se ne smemo sramovati dejstva, da mu vsi tako ali drugače podležemo.

V Keplerjevem konceptu gradnje sončnega sistema je bilo vse pravilno, eksperimentalni podatki so sovpadali s teorijo, teorija je bila logično koherentna, zelo lepa ... a popolnoma napačna. V njegovem času je bilo znanih le šest planetov: Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter in Saturn. Zakaj obstaja samo šest planetov? je vprašal Kepler. In kakšna pravilnost določa njihovo oddaljenost od Sonca? Domneval je, da je vse povezano, to geometrija in kozmogonija so med seboj tesno povezani. Iz spisov starih Grkov je vedel, da obstaja le pet pravilnih poliedrov. Videl je, da je med šestimi tirnicami pet praznin. Torej morda vsak od teh prostih prostorov ustreza nekemu pravilnemu poliedru?

Po več letih opazovanja in teoretičnega dela je ustvaril naslednjo teorijo, s pomočjo katere je precej natančno izračunal dimenzije orbit, ki jo je predstavil v knjigi "Mysterium Cosmographicum", objavljeni leta 1596: Predstavljajte si velikansko kroglo, katerega premer je premer orbite Merkurja pri njegovem letnem gibanju okoli sonca. Nato si predstavljajte, da je na tej krogli pravilen oktaeder, na njej krogla, na njej ikosaeder, na njej spet krogla, na njej dodekaeder, na njej druga krogla, na njej tetraeder, nato spet krogla, kocka in končno je na tej kocki opisana žoga.

Kepler je ugotovil, da so premeri teh zaporednih krogel premeri orbit drugih planetov: Merkurja, Venere, Zemlje, Marsa, Jupitra in Saturna. Teorija se je zdela zelo točna. Na žalost je to sovpadlo z eksperimentalnimi podatki. In kateri boljši dokaz o pravilnosti matematične teorije kot njeno ujemanje z eksperimentalnimi podatki ali opazovalnimi podatki, še posebej "vzetimi z neba"? Te izračune povzemam v tabeli 2. Kaj je torej naredil Kepler? Poskušal sem in poskušal, dokler ni uspelo, to je, ko so konfiguracija (vrstni red krogel) in nastali izračuni sovpadali z opazovalnimi podatki. Tukaj so sodobne Keplerjeve številke in izračuni:

Človek lahko podleže fascinaciji teorije in verjame, da so meritve na nebu netočne in ne izračuni, narejeni v tišini delavnice. Žal danes vemo, da je planetov vsaj devet in da so vsa naključja rezultatov le naključje. Škoda. Bilo je tako lepo...