Barvni kvadrati in sončni mrki

Članek opisuje moje ure za srednješolce - štipendiste Nacionalnega sklada za otroke. Fundacija išče posebno nadarjene otroke in mladino (od XNUMX. razreda osnovne šole do srednje šole) in "štipendira" izbrane dijake. Vendar sploh niso sestavljeni iz dvigovanja gotovine, temveč iz celovite skrbi za razvoj talentov, praviloma skozi več let. Za razliko od mnogih drugih tovrstnih projektov varovance Fundacije resno jemljejo znani znanstveniki, kulturniki, vidni humanisti in drugi modri ljudje, pa tudi nekateri politiki.

Dejavnost Fundacije obsega vse discipline, ki so osnovni šolski predmeti, razen športa, vključno z umetnostjo. Sklad je nastal leta 1983 kot protistrup takratni realnosti. Na sklad se lahko prijavi vsak (navadno preko šole, najbolje pred koncem šolskega leta), seveda pa obstaja neko sito, določen kvalifikacijski postopek.

Kot sem že omenil, članek temelji na mojih mojstrskih tečajih, natančneje v Gdyniji, marca 2016, na 24. nižji srednji šoli III. mornarica. Te seminarje že vrsto let pod okriljem Fundacije organizira Wojciech Thomalczyk, učitelj izjemne karizme in visoke intelektualne ravni. Leta 2008 se je vpisal med deseterico na Poljskem, ki je prejel naziv profesor pedagogike (predviden z zakonom pred mnogimi leti). V izjavi je rahlo pretiravanje: »Izobraževanje je os sveta«.

in luna so vedno fascinantne - takrat lahko začutite, da živimo na majhnem planetu v ogromnem prostoru, kjer je vse v gibanju, merjeno v centimetrih in sekundah. Malo me je celo strah, tudi časovna perspektiva. Izvemo, da bo naslednji popolni mrk, viden z območja današnje Varšave, leta ... 2681. Zanima me, kdo bo to videl? Navidezni velikosti Sonca in Lune na našem nebu sta skoraj enaki – zato so mrki tako kratki in tako spektakularni. Stoletja bi morale te kratke minute zadostovati, da bi astronomi videli sončno korono. Nenavadno je, da se zgodijo dvakrat na leto... ampak to samo pomeni, da jih je nekje na Zemlji mogoče videti za kratek čas. Zaradi plimovanja se Luna oddaljuje od Zemlje – čez 260 milijonov let bo tako daleč, da bomo (smo???) videli le še kolobarjaste mrke.

Očitno prvi napoveduje mrk, je bil Tales iz Mileta (28-585 stoletja pr.n.št.). Najbrž ne bomo vedeli, ali se je to dejansko zgodilo, torej ali je to napovedal, kajti dejstvo, da se je mrk v Mali Aziji zgodil maja 567, 566 pr.n.št., je dejstvo, ki ga potrjujejo sodobni izračuni. Seveda navajam podatke za današnji čas. Ko sem bil otrok, sem si predstavljal, kako ljudje štejejo leta. Torej je to na primer XNUMX let pred našim štetjem, prihaja silvestrovo in ljudje se veselijo: samo XNUMX let pred našim štetjem! Kako srečni so morali biti, ko je končno nastopila »naša doba«! Kakšno prelomnico tisočletij smo doživeli pred nekaj leti!

Matematika izračunavanja datumov in razponov mrki, ni posebej zapletena, je pa natrpana z najrazličnejšimi dejavniki, povezanimi z pravilnostjo in, še huje, z neenakomernim gibanjem telesa v orbitah. To matematiko bi rad celo vedel. Kako je lahko Thales iz Mileta naredil potrebne izračune? Odgovor je preprost. Imeti morate zemljevid neba. Kako narediti tak zemljevid? To tudi ni težko, stari Egipčani so to znali narediti. Ob polnoči prideta dva duhovnika na streho templja. Vsak od njih se usede in nariše, kar vidi (kot njegov kolega). Po dva tisoč letih vemo vse o gibanju planetov ...

Lepa geometrija ali zabava na "preprogi"

Grki niso marali številk, zatekli so se k geometriji. To bomo storili. Naša mrk bodo preprosti, pisani, a prav tako zanimivi in ​​resnični. Sprejemamo dogovor, da se modra figura premika tako, da zasenči rdečo. Modro figuro poimenujmo luna, rdečo pa sonce. Postavljamo si naslednja vprašanja:

1. kako dolgo traja mrk;
2. ko je pokrita polovica tarče;

   riž. 1 Večbarvna "preproga" s soncem in luno

3. kakšna je največja pokritost;
4. je možno analizirati odvisnost pokritosti ščita od časa? V tem članku (omejen sem s količino besedila) se bom osredotočil na drugo vprašanje. Za tem je lepa geometrija, morda brez dolgočasnih izračunov. Poglejmo si na sl. 1. Ali je mogoče domnevati, da bo povezan s ... sončnim mrkom?

Iskreno moram povedati, da bodo naloge, ki jih bom obravnaval, posebej izbrane, prilagojene znanju in veščinam srednješolcev in srednješolcev. A treniramo pri takih nalogah, kot glasbeniki igrajo na lestvice, športniki pa izvajajo splošne razvojne vaje. Poleg tega, ali ni samo lepa preproga (slika 1)?

riž. 2 "Modra" Luna in "Rdeče" Sonce

Naša nebesna telesa bodo vsaj na začetku obarvani kvadratki. Luna je modra, sonce rdeče (najboljše za barvanje). s sedanjostjo mrk Luna preganja sonce po nebu, dohiti ... in ga zapre. Pri nas bo tako. Najenostavnejši primer, ko se Luna premika glede na Sonce, kot je prikazano na sl. 2. Mrk se začne, ko se rob Luninega diska dotakne roba Sončevega diska (slika 2) in konča, ko ga preseže.

riž. 3 Luna se diagonalno približuje soncu

Predvidevamo, da se "Luna" premakne eno celico na enoto časa, na primer na minuto. Mrk nato traja osem časovnih enot, recimo minut. pol sončni mrki Popolnoma zatemnjena Polovica številčnice je dvakrat zaprta: po 2 in 6 minutah. Graf odstotka zatemnitve je preprost. V prvih dveh minutah se ščit enakomerno zapre s hitrostjo od nič do 1, naslednji dve minuti je izpostavljen z enako hitrostjo.

Tukaj je bolj zanimiv primer (slika 3). Luna se diagonalno približuje soncu. Po našem dogovoru o plačilu na minuto mrk traja 8√2 minut - sredi tega časa imamo popolni mrk. Izračunajmo, kolikšen del sonca je pokrit po času t (slika 3). Če je od začetka mrka minilo t minut in je posledično Luna takšna, kot je prikazano na sl. 5, potem (pozor!) Zato je pokrita (površina kvadrata APQR), enaka polovici sončnega diska; torej je bila pokrita, ko je, tj. po 4 minutah (nato 4 minute pred koncem mrka).

riž. 4 Graf funkcije "senčenja".

Totalnost traja en trenutek (t = 4√2), graf funkcije "osenčenega dela" pa sestavljata dva loka parabol (slika 4).

Naša modra luna se bo dotaknila vogala z rdečim soncem, vendar ga bo prekrila, ne bo šla po diagonali, ampak rahlo diagonalno. Zanimiva geometrija se pojavi, ko malo zapletemo gibanje (slika 6). Smer gibanja je zdaj vektorska [4,3], to je "štiri celice v desno, tri celice navzgor." Položaj Sonca je tak, da se mrk začne (položaj A), ko se strani »nebesnih teles« zbližata na četrtino njihove dolžine. Ko se Luna premakne v položaj B, bo zasenčila eno šestino Sonca, v položaju C pa polovico. V položaju D imamo popoln mrk, potem pa se vse vrne, "kot je bilo."

riž. 5 Del Sonca, skrit v času t

Mrk se konča, ko je Luna v položaju G. Trajal je tako dolgo kot dolžina preseka AG. Če kot prej vzamemo za časovno enoto čas, v katerem Luna preide "en kvadrat", potem je dolžina AG enaka. Če bi se vrnili na staro konvencijo, da so naša nebesna telesa 4 krat 4, bi bil rezultat drugačen (kaj?). Kot je enostavno prikazati, se tarča zapre po t < 15. Graf funkcije »odstotek pokritosti zaslona« si lahko ogledate na sl. 6.

riž. 6 Graf funkcije "odstotek zaščite".

Enačba mrka in skoka

riž. 7 Ovira sončnega diska med mrkom, prikazano na sl. 6

Problem mrkov bi bil nepopoln, če ne bi upoštevali primera krogov. To je veliko bolj zapleteno, vendar poskusimo ugotoviti, kdaj en krog zasenči polovico drugega - in v najpreprostejšem primeru, ko se eden od njih premika vzdolž premera, ki ju povezuje. Risba je znana imetnikom nekaterih kreditnih kartic.

Izračun položaja polj je zapleten, saj zahteva, prvič, poznavanje formule za površino krožnega segmenta, drugič, poznavanje loka kota in tretjič (in najslabše od vsega), sposobnost rešiti določeno enačbo za skok. Ne bom razlagal, kaj je "transitivna enačba", poglejmo primer (slika 8).

riž. 8 "Sferični" mrk

Krožni odsek je "skleda", ki ostane po rezanju kroga z ravno črto. Površina takega segmenta je S = 1/2r²(φ-sinφ), kjer je r polmer kroga, φ pa je osrednji kot, na katerem leži segment (slika 8). To je enostavno dobiti tako, da od površine krožnega sektorja odštejemo površino trikotnika.

Epizoda O₁O₂ (razdalja med središči krogov) je potem enaka 2rcosφ/2, višina (širina, »pas«) h = 2rsinφ/2. Torej, če želimo izračunati, kdaj bo Luna pokrila polovico sončnega diska, moramo rešiti enačbo: ki po poenostavitvi postane:

riž. 9 Grafi dveh funkcij

Rešitev takšnih enačb presega preprosto algebro – enačba vsebuje oba kota in njune trigonometrične funkcije. Enačba je zunaj dosega tradicionalnih metod. Zato se imenuje skočiti. Poglejmo si najprej grafa obeh funkcij, torej funkcij in funkcij, iz te slike lahko preberemo približno rešitev. Lahko pa dobimo iterativni približek ali… uporabimo možnost Reševanje v Excelovi preglednici. To bi moral biti sposoben vsak srednješolec, saj je 20. stoletje. Uporabil sem bolj izpopolnjeno orodje Mathematica in tukaj je naša rešitev z XNUMX decimalnimi mesti nepotrebne natančnosti:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

riž. 10 Animacija mrka v matematiki

To pretvorimo v stopinje tako, da pomnožimo s 180/π. Dobimo 132 stopinj, 20 minut, 45 in četrt ločne sekunde. Izračunamo, da je razdalja do središča kroga O₁O₂ = 0,808 polmer in "pas" 2,310.