PA KOMU, torej: POSKUSI KJER LAHKO - 2. del

V prejšnji epizodi smo obravnavali Sudoku, računsko igro, v kateri so številke v osnovi razvrščene v različne diagrame po določenih pravilih. Najpogostejša različica je šahovnica 9×9, dodatno razdeljena na devet celic 3×3. Številke od 1 do 9 morajo biti na njej postavljene tako, da se ne ponavljajo niti v navpični vrsti (matematiki pravijo: v stolpcu) ali v vodoravni vrsti (matematiki pravijo: v vrsti) - in poleg tega tako, da se ne ponavljajo. ponovite znotraj katerega koli manjšega kvadrata.

Na sl. 1 to sestavljanko vidimo v enostavnejši različici, ki je kvadrat 6 × 6 razdeljen na pravokotnike 2 × 3. Vanjo vstavimo številke 1, 2, 3, 4, 5, 6 – da se ne ponavljajo navpično, niti vodoravno, niti v vsakem od izbranih šestkotnikov.

Poskusimo prikazano v zgornjem kvadratu. Ali ga lahko izpolnite s številkami od 1 do 6 po pravilih te igre? Možno je – a dvoumno. Poglejmo - narišite kvadrat na levi ali kvadrat na desni.

Lahko rečemo, da to ni osnova za uganko. Običajno domnevamo, da ima uganka eno rešitev. Naloga iskanja različnih podlag za "veliki" Sudoku, 9x9, je težka naloga in ni možnosti, da bi jo v celoti rešili.

Druga pomembna povezava je protislovni sistem. Spodnjega srednjega kvadrata (tistega s številko 2 v spodnjem desnem kotu) ni mogoče izpolniti. Zakaj?

Zabava in umiki

Igramo naprej. Uporabimo otroško intuicijo. Menijo, da je zabava uvod v učenje. Gremo v vesolje. vklopljen sl. 2 vsi vidijo mrežo tetraederiz žogic, na primer, žogic za ping-pong? Spomnite se šolskih poukov geometrije. Barve na levi strani slike pojasnjujejo, na kaj je prilepljen pri sestavljanju bloka. Zlasti tri kotne (rdeče) kroglice bodo zlepljene v eno. Zato morajo biti enake številke. Mogoče 9. Zakaj? In zakaj ne?

Oh, nisem se izrazil naloge. Sliši se nekako takole: ali je mogoče številke od 0 do 9 vpisati v vidno mrežo, tako da vsak obraz vsebuje vsa števila? Naloga ni težka, a koliko si morate predstavljati! Ne bom pokvaril užitka bralcem in ne bom dal rešitve.

To je zelo lepa in podcenjena oblika. pravilen oktaeder, zgrajena iz dveh piramid (=piramid) s kvadratno osnovo. Kot pove že ime, ima oktaeder osem obrazov.

V oktaedru je šest oglišč. To je v nasprotju kockaki ima šest ploskev in osem oglišč. Robovi obeh kepic so enaki - po dvanajst. to dvojne trdne snovi - to pomeni, da s povezavo središč ploskev kocke dobimo oktaeder, središča ploskev oktaedra pa nam dajo kocko. Oba udarca delujeta ("ker morata") Eulerjeva formula: Vsota števila oglišč in števila obrazov je 2 večja od števila robov.

3. Pravilni oktaeder v vzporedni projekciji in oktaederska mreža, sestavljena iz krogel tako, da ima vsak rob štiri krogle.

1 opravilo. Najprej zapišite zadnji stavek prejšnjega odstavka z matematično formulo. Na sl. 3 vidite oktaedrično mrežo, prav tako sestavljeno iz krogel. Vsak rob ima štiri kroglice. Vsak obraz je trikotnik desetih krogel. Problem je postavljen neodvisno: ali je mogoče v kroge mreže postaviti številke od 0 do 9, tako da po lepljenju trdnega telesa vsaka stena vsebuje vse številke (sledi brez ponavljanja). Kot prej je pri tej nalogi največja težava, kako se mreža preoblikuje v trdno telo. Tega ne morem pisno razložiti, zato tudi tukaj ne navajam rešitve.

4. Dva ikosaedra iz ping-pong žogic. Bodite pozorni na drugačno barvno shemo.

že Platon (in živel je v XNUMX.-XNUMX. stoletju pr.n.št.) poznal vse pravilne poliedre: tetraeder, kocko, oktaeder, demaэдр i ikosaeder. Neverjetno, kako je prišel tja – brez svinčnika, brez papirja, brez peresa, brez knjig, brez pametnega telefona, brez interneta! Tukaj ne bom govoril o dodekaedru. Toda ikozaedrski sudoku je zanimiv. To kepo vidimo na ilustracija 4in njeno omrežje slika 5.

5. Pravilna mreža ikosaedra.

Tako kot doslej to ni mreža v smislu, kot se (?!) spominjamo iz šole, ampak način lepljenja trikotnikov iz kroglic (kroglic).

2 opravilo. Koliko kroglic je potrebnih, da zgradimo tak ikosaeder? Ali ostaja naslednja razmislek pravilna: ker je vsaka ploskev trikotnik, je potrebno kar 20 krogel, če je 60 obrazov?

6. Mreža ikosaedra iz krogel. Vsak krog je na primer žogica za ping-pong, vendar se gradnja krogov na krogih, označenih z isto barvo, zlije v enega. Torej imamo dvanajst krogel (= dvanajst oglišč: rdeča, modra, vijolična, modra in osem rumenih).

Zlahka je videti, da tri števila v ikosaedru niso dovolj. Natančneje: nemogoče je našteti točki s številkami 1, 2, 3, tako da ima vsaka (trikotna) ploskev te tri številke in ni ponovitev. Ali je mogoče s štirimi številkami? Ja, možno je! Poglejmo si riž. 6 in 7.

7. Tukaj je opisano, kako oštevilčiti krogle, ki sestavljajo ikosaeder, tako da vsaka ploskev vsebuje številke, ki niso 1, 2, 3, 4. Katero od teles na sl. 4 je tako obarvan?

3 opravilo. Tri od štirih števil lahko izberemo na štiri načine: 123, 124, 134, 234. Poišči pet takih trikotnikov v ikosaedru na sl. 7 (kot tudi od ilustracije 4).

Naloga 4 (zahteva zelo dobro prostorsko domišljijo). Ikosaeder ima dvanajst vrhov, kar pomeni, da ga je mogoče zlepiti iz dvanajstih kroglic (sl. 7). Upoštevajte, da obstajajo tri oglišča (= kroglice), označena z 1, tri z 2 itd. Tako kroglice enake barve tvorijo trikotnik. Kaj je ta trikotnik? Mogoče enakostranski? Poglej še enkrat ilustracije 4.

Naslednja naloga za dedka / babico in vnuka / vnukinjo. Končno se lahko tudi starši preizkusijo, vendar potrebujejo potrpljenje in čas.

5 opravilo. Kupite dvanajst (najbolje 24) žogic za ping-pong, kakšne štiri barve barve, čopič in pravo lepilo – hitrih, kot sta Superglue ali Droplet, ne priporočam, ker se prehitro sušijo in so nevarne za otroke. Lepite na ikosaeder. Vnukinjo oblecite v majico, ki jo boste takoj zatem oprali (ali zavrgli). Mizo pokrijte s folijo (najbolje s časopisi). Previdno pobarvaj ikosaeder s štirimi barvami 1, 2, 3, 4, kot je prikazano na sl. sl. 7. Vrstni red lahko spremenite – balone najprej pobarvajte in jih nato prilepite. Hkrati je treba drobne kroge pustiti nepobarvane, da se barva ne prime barve.

Zdaj najtežja naloga (natančneje, njihovo celotno zaporedje).

Naloga 6 (Natančneje, splošna tema). Narišite ikosaeder kot tetraeder in oktaeder riž. 2 in 3 To pomeni, da morajo biti na vsakem robu štiri kroglice. V tej različici je naloga hkrati zamudna in celo draga. Začnimo z ugotovitvijo, koliko žogic potrebujete. Vsaka stran ima deset krogel, torej ikozaeder potrebuje dvesto? ne! Ne smemo pozabiti, da se veliko žog deli. Koliko robov ima ikozaeder? Lahko se skrbno izračuna, toda čemu služi Eulerjeva formula?

w–k+s=2

kjer so w, k, s število vozlišč, robov in ploskve. Spomnimo se, da je w = 12, s = 20, kar pomeni k = 30. Imamo 30 robov ikosaedra. To lahko storite drugače, saj če je trikotnikov 20, potem imajo le 60 robov, dva pa sta skupna.

Izračunajmo, koliko kroglic potrebujete. V vsakem trikotniku je samo ena notranja kroglica - niti na vrhu našega telesa niti na robu. Tako imamo skupaj 20 takih kroglic. Obstaja 12 vrhov. Vsak rob ima dve nevrhalni kroglici (so znotraj roba, ne pa znotraj obraza). Ker je robov 30, je 60 frnikol, vendar sta dva skupna, kar pomeni, da potrebujete samo 30 frnikol, torej potrebujete skupno 20 + 12 + 30 = 62 frnikol. Kroglice je mogoče kupiti za najmanj 50 penijev (običajno dražje). Če dodate strošek lepila, bo izšlo ... veliko. Za dobro lepljenje je potrebno več ur mukotrpnega dela. Skupaj sta primerna za sproščujočo zabavo – priporočam ju namesto na primer gledanja televizije.

Umik 1. V filmski seriji Andrzeja Wajde Leta, dnevi dva moška igrata šah, "ker morata nekako preteči čas do večerje." Dogaja se v galicijskem Krakovu. Pravzaprav: časopisi so že prebrani (takrat so imeli 4 strani), TV in telefon še nista izumljena, nogometnih tekem ni. Dolgčas v lužah. V takšni situaciji so si ljudje sami izmislili zabavo. Danes jih imamo po pritisku na daljinski upravljalnik ...

Umik 2. Na srečanju Združenja učiteljev matematike 2019 je španski profesor demonstriral računalniški program, ki lahko barva masivne stene v kateri koli barvi. Bilo je malo srhljivo, saj so narisali le roke, skoraj odrezali telo. Pomislil sem si: koliko zabave lahko dobite ob takem »senčenju«? Vse traja dve minuti, do četrte pa se ne spomnimo ničesar. Medtem pa staromodno "šivanje" pomirja in vzgaja. Kdor ne verjame, naj poskusi.

Vrnimo se v XNUMX. stoletje in v naše realnosti. Če ne želimo sprostitve v obliki napornega lepljenja kroglic, potem bomo narisali vsaj mrežo ikosaedra, katerega robovi imajo štiri kroglice. Kako narediti? Sesekljajte ga prav slika 6. Pozorni bralec že ugane težavo:

7 opravilo. Ali je mogoče kroglice našteti s številkami od 0 do 9, tako da se vsa ta števila pojavijo na vsaki ploskvi takega ikosaedra?

Za kaj smo plačani?

Danes se pogosto zastavljamo vprašanje namena našega delovanja, »sivi davkoplačevalec« pa se bo vprašal, zakaj bi moral plačevati matematike za reševanje tovrstnih ugank?

Odgovor je precej preprost. Takšne »uganke«, zanimive same po sebi, so »delček nečesa resnejšega«. Navsezadnje so vojaške parade le zunanji, spektakularni del težke službe. Navedel bom samo en primer, začel pa bom s čudnim, a mednarodno priznanim matematičnim predmetom. Leta 1852 je angleški študent vprašal svojega profesorja, ali je mogoče zemljevid pobarvati s štirimi barvami, tako da so sosednje države vedno prikazane v različnih barvah? Naj dodam, da za "sosede" ne štejemo tistih, ki se srečajo samo na eni točki, kot sta zvezni državi Wyoming in Utah v ZDA. Profesor ni vedel ... in problem je čakal na rešitev več kot sto let.

8. Ikosaeder iz RECO blokov. Odsevniki bliskavice kažejo, kaj ima ikosaeder skupnega s trikotnikom in peterokotnikom. Pet trikotnikov se zbliža na vsakem točku.

Zgodilo se je na nepričakovan način. Leta 1976 je skupina ameriških matematikov napisala program za rešitev tega problema (in odločili so se: da, štiri barve bodo vedno dovolj). To je bil prvi dokaz matematičnega dejstva, pridobljenega s pomočjo »matematičnega stroja« – kot so pred pol stoletja imenovali računalnik (in še prej: »elektronski možgani«).

Tukaj je posebej prikazan "zemljevid Evrope" (sl. 9). Tiste države, ki imajo skupno mejo, so povezane. Barvanje zemljevida je enako kot barvanje krogov tega grafa (imenovanega graf), tako da noben povezan krog ni enake barve. Pogled na Liechtenstein, Belgijo, Francijo in Nemčijo pokaže, da tri barve niso dovolj. Če želite, Bralec, ga pobarvajte s štirimi barvami.

9. Kdo meji s kom v Evropi?

No ja, ampak ali je vredno davkoplačevalskega denarja? Poglejmo si torej isti graf nekoliko drugače. Pozabite, da obstajajo države in meje. Naj krogi simbolizirajo informacijske pakete, ki jih je treba poslati iz ene točke v drugo (na primer od P do EST), segmenti pa predstavljajo možne povezave, od katerih ima vsaka svojo pasovno širino. Pošlji čim prej?

Najprej si poglejmo zelo poenostavljeno, a tudi z matematičnega vidika zelo zanimivo situacijo. Nekaj ​​moramo poslati od točke S (= kot začetek) do točke M (= konča) z uporabo povezovalnega omrežja z enako pasovno širino, recimo 1. To vidimo v sl. 10.

10. Omrežje povezav od Statsyika Zdrój do Megapolisa.

Predstavljajmo si, da je treba od S do M poslati približno 89 bitov informacij. Avtor teh besed ima rad težave z vlaki, zato si predstavlja, da je upravnik v Stacie Zdrój, od koder mora poslati 144 vagonov. do metropolske postaje. Zakaj ravno 144? Ker, kot bomo videli, bo to uporabljeno za izračun prepustnosti celotnega omrežja. Kapaciteta je 1 v vsakem lotu, t.j. en avto lahko mine na enoto časa (en informacijski bit, morda tudi Gigabyte).

Poskrbimo, da se vsi avtomobili srečajo hkrati v M. Vsi pridejo tja v 89 enotah časa. Če moram poslati zelo pomemben informacijski paket od S do M, ga razbijem v skupine po 144 enot in ga potisnem skozi, kot je opisano zgoraj. Matematika zagotavlja, da bo to najhitreje. Kako sem vedel, da potrebuješ 89? Pravzaprav sem ugibal, a če ne bi ugibal, bi moral ugotoviti Kirchhoffove enačbe (se kdo spomni? - to so enačbe, ki opisujejo tok toka). Pasovna širina omrežja je 184/89, kar je približno enako 1,62.

O veselju

Mimogrede, všeč mi je številka 144. Z avtobusom s to številko sem se rad peljal do Grajskega trga v Varšavi – ko zraven še ni bilo obnovljenega Kraljevega gradu. Morda mladi bralci vedo, kaj je ducat. To je 12 izvodov, a le starejši bralci se spomnijo, da je ducat, tj. 122=144, to je tako imenovani sklop. In vsi, ki poznajo matematiko malo več kot šolski program, bodo to takoj razumeli sl. 10 imamo Fibonaccijeve številke in da je pasovna širina omrežja blizu "zlate številke"

V Fibonaccijevem zaporedju je 144 edino število, ki je popoln kvadrat. Sto štiriinštirideset je tudi "veselo število". Tako je indijski amaterski matematik Dattatreya Ramachandra Caprecar leta 1955 je poimenoval števila, ki so deljiva z vsoto njihovih sestavnih števk:

Če bi vedel Adam Mickiewicz, v Dzyady bi gotovo napisal ne: »Od tuje matere; njegova kri so njegovi stari junaki / In ime mu je štiriinštirideset, le bolj elegantno: In ime mu je sto štiriinštirideset.

Vzemite zabavo resno

Upam, da sem bralce prepričal, da so uganke Sudoku zabavna stran vprašanj, ki si vsekakor zaslužijo, da jih jemljemo resno. Ne morem več razvijati te teme. Oh, izračun celotne pasovne širine omrežja iz prikazanega diagrama sl. 9 pisanje sistema enačb bi trajalo dve ali več ur - morda celo desetine sekund (!) računalniškega dela.