Šifre in vohuni
V današnjem matematičnem kotičku si bom ogledal temo, o kateri sem razpravljal na letnem otroškem znanstvenem taboru Nacionalne fundacije za otroke. Fundacija išče otroke in mladino z znanstvenimi interesi. Ni vam treba biti izjemno nadarjen, morate pa imeti znanstveno žilico. Zelo dobre šolske ocene niso potrebne. Poskusite, morda vam bo všeč. Če ste osnovnošolec ali srednješolec, se prijavite. Običajno poročajo starši ali šola, vendar ni vedno tako. Poiščite spletno stran Fundacije in izvedite vse.
V šoli se vse več govori o »kodiranju«, ki se nanaša na dejavnost, prej znano kot »programiranje«. To je običajen postopek za teoretične pedagoge. Izkopljejo stare metode, jim dajo novo ime in »napredek« poskrbi sam zase. Obstaja več področij, kjer se tak cikličen pojav pojavlja.
Lahko sklepamo, da didaktiko razvrednotim. št. V razvoju civilizacije se včasih vračamo k tistemu, kar je bilo, zapuščeno in zdaj oživlja. Toda naš kotiček je matematičen, ne filozofski.
Pripadnost določeni skupnosti pomeni tudi »skupne simbole«, skupna branja, izreke in prispodobe. Tisti, ki se je odlično naučil poljskega jezika »v Szczebrzeszynu je velika goščava, hrošč brni v trstju«, bo takoj razkrit kot vohun tuje države, če ne bo odgovoril na vprašanje, kaj počne žolna. Seveda se duši!
To ni samo šala. Decembra 1944 so Nemci z velikimi stroški začeli zadnjo ofenzivo v Ardenih. Mobilizirali so vojake, ki so tekoče govorili angleško, da bi motili gibanje zavezniških čet, na primer tako, da so jih na razpotju vodili v napačno smer. Po trenutku presenečenja so Američani začeli vojakom postavljati sumljiva vprašanja, na katera bi bili odgovori očitni človeku iz Teksasa, Nebraske ali Georgie in nepojmljivi nekomu, ki tam ni odraščal. Nepoznavanje realnosti je neposredno vodilo do usmrtitve.
Do točke. Bralcem priporočam knjigo Lukasza Badovskega in Zaslava Adamaseka Laboratorij v predalu pisalne mize - matematika. To je čudovita knjiga, ki briljantno pokaže, da je matematika dejansko za nekaj uporabna in da »matematični eksperiment« niso le prazne besede. Med drugim vključuje opisano zasnovo »kartonske enigme« – naprave, katere izdelava nam bo vzela le petnajst minut in deluje kot resen šifrirnik. Sama ideja je bila tako znana, omenjeni avtorji so jo lepo izdelali, jaz pa jo bom malo spremenil in zavil v bolj matematična oblačila.
nožne žage
Na eni od ulic mojega počitniškega naselja v predmestju Varšave so pred kratkim razstavili pločnik iz »trlink« - šesterokotnih tlakovcev. Bilo je neprijetno potovati, vendar se je matematikova duša veselila. Pokritje ravnine s pravilnimi (torej pravilnimi) poligoni ni enostavno. To so lahko samo trikotniki, kvadrati in pravilni šesterokotniki.
Mogoče sem se s tem duhovnim veseljem malo pošalil, ampak šesterokotnik je lepa figura. Iz njega lahko naredite dokaj uspešno napravo za šifriranje. Geometrija bo pomagala. Šesterokotnik ima rotacijsko simetrijo - sam se prekriva, ko se zavrti za večkratnik 60 stopinj. Polje, označeno na primer s črko A v zgornjem levem kotu sl. 1 po obračanju za ta kot bo padla tudi v polje A - in enako z ostalimi črkami. Torej izrežemo šest kvadratov iz mreže, vsak z drugo črko. Nastalo mrežo položite na list papirja. V prostih šest polj vnesemo šest črk besedila, ki ga želimo šifrirati. List zavrtimo za 60 stopinj. Pojavilo se bo šest novih polj - vnesite naslednjih šest črk našega sporočila.
riž. 1. Trlinki veselja do matematike.
Na desno sl. 1 imamo tako kodirano besedilo: "Na postaji je ogromna težka parna lokomotiva."
Zdaj bo še kako prav prišlo malo šolske matematike. Na koliko načinov sta lahko dve številki razporejeni drug glede drugega?
Kakšno neumno vprašanje? Za dva: enega spredaj ali drugega.
V redu. In tri številke?
Prav tako ni težko našteti vseh nastavitev:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
No, to je za štiri! Še vedno je mogoče jasno navesti. Ugani pravilo vrstnega reda, ki sem ga postavil:
1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,
1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,
2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,
3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321
Ko je števk pet, dobimo 120 možnih nastavitev. Pokličimo jih permutacije. Število možnih permutacij n števil je produkt 1 2 3 ... n, imenovan močno in označena s klicajem: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Za naslednje število 6 imamo 6!=720. To bomo uporabili, da bo naš šesterokotni šifrirni ščit bolj zapleten.
Izberemo permutacijo številk od 0 do 5, na primer 351042. Naš šesterokotni premešalni disk ima v srednjem polju pomišljaj - tako da ga lahko postavimo "v ničelni položaj" - pomišljaj navzgor, kot na sl. 1. Disk na ta način položimo na list papirja, na katerega moramo napisati naše poročilo, vendar ga ne napišemo takoj, ampak ga trikrat obrnemo za 60 stopinj (tj. 180 stopinj) in vpišemo šest črk prazna polja. Vrnemo se v začetni položaj. Obrnemo številčnico petkrat za 60 stopinj, torej za pet "zobčkov" naše številčnice. Tiskamo. Naslednji položaj na lestvici je položaj, obrnjen za 60 stopinj okoli ničle. Četrti položaj je 0 stopinj, to je začetni položaj.
Ali razumete, kaj se je zgodilo? Imamo še dodatno priložnost – naš »stroj« zakomplicirati za več kot sedemstokrat! Torej imamo dva neodvisna položaja "avtomata" - izbiro mreže in izbiro permutacije. Mrežo lahko izberete na 66 = 46656 načinov, permutacija 720. To daje 33592320 možnosti. Več kot 33 milijonov šifer! Skoraj malo manj, ker nekaterih mrež ni mogoče izrezati iz papirja.
V spodnjem delu sl. 1 imamo takole kodirano sporočilo: "Pošiljam vam štiri padalske divizije." Preprosto je razumeti, da sovražnik ne bi smel vedeti za to. Toda ali bo razumel kaj od tega:
ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ
YYLOAKVMDEYCHESH,
tudi s podpisom 351042?
Gradimo Enigmo, nemški šifrirni stroj
riž. 2. Primer začetne nastavitve našega šifrirnega stroja.
Permutacije (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).
Kot sem že omenil, se ideja o izdelavi takega kartonskega stroja dolguje knjigi “Laboratorij v predalu pisalne mize – matematika”. Moja »konstrukcija« je nekoliko drugačna od tiste, ki so jo podali njeni avtorji.
Šifrirni stroj, ki so ga Nemci uporabljali med vojno, je imel genialno preprost princip, nekoliko podoben tistemu, ki smo ga videli pri šestnajstiški šifri. Vsakič isto: prekiniti težko dodelitev črke drugi črki. Mora biti zamenljiv. Kako to storiti, da bi imeli nadzor nad tem?
Ne izberimo poljubne permutacije, ampak takšno, ki ima cikle dolžine 2. Preprosto povedano, nekaj takega, kot je "Gaderipoluka", opisana tukaj pred nekaj meseci, vendar pokriva vse črke abecede. Dogovorimo se za 24 črk – brez ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Koliko je takih permutacij? To je naloga za maturante (naj bi jo takoj rešili). Koliko? Veliko? Več tisoč? Da:
1912098225024001185793365052108800000000 (ne poskušajmo niti prebrati te številke). Obstaja toliko možnosti za nastavitev položaja "nič". In lahko je težko.
Naš stroj je sestavljen iz dveh okroglih diskov. Na enem izmed njih, ki še stoji, so zapisane črke. To je nekoliko podobno številčnici starega telefona, kjer ste klicali številko tako, da ste številčnico zavrteli do konca. Rotary je drugi z barvno shemo. Najlažji način je, da jih z zatičem položite na navaden zamašek. Namesto plute lahko uporabite tanko ploščo ali debel karton. Lukasz Badowski in Zasław Adamaszek priporočata, da obe plošči postavite v škatlo za CD.
Predstavljajte si, da želimo kodirati besedo ARMATY (riž. 2 in 3). Napravo nastavite na ničelni položaj (puščica navzgor). Črka A ustreza F. Zasukajte notranji diagram za eno črko v desno. Imamo črko R za kodiranje, zdaj ustreza A. Po naslednjem vrtenju vidimo, da črka M ustreza U. Naslednja rotacija (četrti diagram) daje korespondenco A - P. Na peti številčnici imamo T - A. Končno (šesti krog) D – D Sovražnik se verjetno ne bo zavedal, da bodo naši CFC zanj nevarni. Kako bodo »naši« brali depešo? Imeti morajo isti stroj, enako "sprogramiran", torej z enako permutacijo. Šifra se začne na položaju nič. Torej je vrednost F enaka A. Obrnite številčnico v smeri urinega kazalca. Črka A je zdaj povezana z R. Obrne številčnico v desno in pod črko U najde M itd. Šifrer teče k generalu: "General, poročam, puške prihajajo!"
riž. 3. Načelo delovanja našega prispevka Enigma.
| riž. 3. Načelo delovanja našega prispevka Enigma. | ||
Zmogljivosti še tako primitivne Enigme so neverjetne. Izberemo lahko druge izhodne permutacije. Lahko - in tukaj je še več možnosti - ne samo enega "serifa" redno, ampak v določenem, dnevno spreminjajočem se vrstnem redu, kot šesterokotnik (na primer najprej tri črke, nato sedem, nato osem, štiri ... . itd.).
Kako lahko ugibate?! Pa vendar za poljske matematike (Marian Reevski, Henry Zigalski, Jerzy Ruzicki) zgodilo. Tako pridobljene informacije so bile neprecenljive. Prej so imeli enako pomemben prispevek k zgodovini naše obrambe. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevički je leta 1920 prekršil kodeks ruskih čet. Prestreženi kabel je Piłsudskemu dal priložnost, da izvede znameniti manever iz reke Vepsz.
Spominjam se Vasslava Sierpinskega (1882-1969). Zdel se je kot matematik, za katerega zunanji svet ni obstajal. O svoji udeležbi pri zmagi leta 1920 ni mogel govoriti tako iz vojaških kot ... iz političnih razlogov (oblasti Ljudske republike Poljske niso marale tistih, ki so nas branili pred Sovjetsko zvezo).
sl. 4. Permutacija (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).
riž. 5. Lepa dekoracija, vendar ni primerna za šifriranje. Preveč redno.
1 opravilo. Na sl. 4 imate še eno permutacijo za ustvarjanje Enigme. Kopirajte risbo na kserograf. Zgradite avto, kodirajte svoje ime in priimek. Moj CWONUE JTRYGT. Če želite svoje zapiske ohraniti zasebne, uporabite Cardboard Enigma.
2 opravilo. Šifrirajte svoje ime in priimek enega od "avtomobilov", ki ste jih videli, vendar (pozor!) z dodatnim zapletom: ne obrnemo za eno zarezo v desno, ampak po vzorcu {1, 2, 3, 2, 1 , 2, 3 , 2, 1, ....} – torej najprej z enico, nato z dvema, nato s tremi, nato z 2, nato spet z 1, nato z 2 itd., takšen »wavelet ”. Prepričajte se, da bosta moje ime in priimek šifrirana kot CZTTAK SDBITH. Zdaj razumete, kako močan je bil stroj Enigma?
Reševanje problemov za maturante. Koliko možnosti je na voljo za prilagajanje Enigme (v tej različici, kot je opisano v članku)? Imamo 24 črk. Izberite prvi par črk - to lahko storite naprej
načine. Izberete lahko naslednji par
načinov, več
itd. Po ustreznih izračunih (vsa števila je treba pomnožiti) dobimo
151476660579404160000
Nato to številko delite z 12! (12 faktoriel), ker je iste pare mogoče dobiti v različnih vrstnih redih. Torej na koncu dobimo "le"
316234143225,
to je nekaj več kot 300 milijard, kar se ne zdi osupljivo veliko število za današnje superračunalnike. Če pa upoštevamo naključni vrstni red samih permutacij, se to število znatno poveča. Pomislimo lahko tudi na druge vrste permutacij.
Glej tudi:
