Potovanje v neresnični svet matematike

Ta članek sem napisal v enem izmed okolij, po predavanju in praksi na fakulteti za računalništvo. Zagovarjam se kritike na račun dijakov te šole, njihovega znanja, odnosa do znanosti in, kar je najpomembneje, njihovih učnih sposobnosti. Tega... nihče jih ne uči.

Zakaj sem tako obrambna? Iz preprostega razloga - sem v letih, ko verjetno še ne razumemo sveta okoli nas. Mogoče jih učim vpregati in odpregati konje, ne pa voziti avtomobila? Mogoče jih naučim pisati s peresom? Čeprav imam o osebi boljše mnenje, se smatram za "sledilca", toda ...

Še pred kratkim so v srednji šoli govorili o kompleksnih številih. In ravno to sredo sem prišla domov, odnehala - skoraj nihče od študentov se še ni naučil, kaj je to in kako uporabljati te številke. Nekateri gledajo na vso matematiko kot gos na prebarvana vrata. Bila pa sem tudi iskreno presenečena, ko so mi povedali, kako naj se učim. Preprosto povedano, vsaka ura predavanja sta dve uri domače naloge: branje učbenika, učenje reševanja nalog na določeno temo itd. Tako pripravljeni pridemo na vaje, kjer vse izboljšamo ... Prijetno, študentje so očitno mislili, da že sedenje na predavanju - največkrat gledanje skozi okno - zagotavlja vstop znanja v glavo.

Ustavi se! Dovolj tega. Opisal bom svoj odgovor na vprašanje, ki sem ga prejel na predavanju s sodelavci Nacionalnega otroškega sklada, ustanove, ki podpira nadarjene otroke iz vse države. Vprašanje (oziroma predlog) je bilo:

— Nam lahko poveste kaj o neresničnih številkah?

"Seveda," sem odgovoril. 

Resničnost številk

"Prijatelj je drug jaz, prijateljstvo je razmerje števil 220 in 284," je rekel Pitagora. Bistvo tukaj je, da je vsota deliteljev števila 220 284, vsota deliteljev števila 284 pa 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Še eno zanimivo naključje med številkama 220 in 284 je to: sedemnajst najvišjih praštevil je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, in 59.

Njihova vsota je 2x220, vsota kvadratov pa 59x284.

najprej Ne obstaja koncept "realnega števila". To je tako, kot če bi po branju članka o slonih vprašali: "Zdaj bomo vprašali za ne-slone." Obstaja celota in necelota, racionalno in iracionalno, ni pa neresničnega. Natančneje: številke, ki niso resnične, se ne imenujejo neveljavne. V matematiki je veliko vrst "številk", ki se med seboj razlikujejo, kot - če vzamemo zoološko primerjavo - slon in deževnik.

Drugič, izvajali bomo operacije, za katere morda že veste, da so prepovedane: pridobivanje kvadratnih korenov negativnih števil. No, matematika bo premagala takšne ovire. Ali je smiselno? V matematiki, tako kot v kateri koli drugi znanosti, ali bo teorija za vedno vstopila v skladišče znanja, je odvisno ... od njene uporabe. Če je neuporaben, potem konča v smeteh, nato pa v kakšnem smeteh zgodovine znanja. Brez številk, o katerih govorim na koncu tega članka, je nemogoče razvijati matematiko. A začnimo z majhnimi stvarmi. Kaj so realne številke, veste. Številsko premico zapolnijo gosto in brez presledkov. Veste tudi, kaj so naravna števila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – vsa ne bodo sodila spomin tudi največji. Imajo tudi lepo ime: naravne. Imajo toliko zanimivih lastnosti. Kako vam je všeč tole:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

»Naravno je, da nas zanimajo naravna števila,« je dejal Karl Lindenholm, Leopold Kronecker (1823–1891) pa je jedrnato povedal: »Bog je ustvaril naravna števila – vse drugo je delo človeka!« Ulomki (ki jih matematiki imenujejo racionalna števila) imajo tudi neverjetne lastnosti:

in v enakosti:

lahko, začenši z leve strani, podrgnete pluse in jih zamenjate z znaki množenja - in enakost bo ostala resnična:

In tako naprej.

Kot veste, za ulomke a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0, pravijo racionalno število. Ampak samo v poljščini se tako imenujejo. Govorijo angleško, francosko, nemško in rusko. racionalno število. V angleščini: racionalna števila. Iracionalne številke to je iracionalno, iracionalno. O iracionalnih teorijah, idejah in dejanjih govorimo tudi poljsko – to je norost, namišljena, nerazložljiva. Pravijo, da se ženske bojijo miši – ali ni to tako iracionalno?

V starih časih so imela števila dušo. Vsak je nekaj pomenil, vsak je nekaj simboliziral, vsak je odseval delček te harmonije vesolja, to je v grščini Kozmosa. Sama beseda "kozmos" pomeni točno "red, red". Najpomembnejša sta bila šest (popolno število) in deset, vsota zaporednih števil 1+2+3+4, sestavljenih iz drugih števil, katerih simbolika se je ohranila do danes. Pitagora je torej učil, da so številke začetek in vir vsega in le odkritje iracionalna števila obrnil pitagorejsko gibanje k geometriji. Poznamo razloge iz šole, da

√2 je iracionalno število

Recimo, da obstaja: in da tega ulomka ni mogoče zmanjšati. Še posebej sta tako p kot q liha. Kvadirajmo: 2q²=p². Število p ne more biti liho, saj je takrat p² bi tudi bil, leva stran enakosti pa je večkratnik 2. Torej je p sodo, tj. p = 2r, torej p²= 4r². Zmanjšamo enačbo 2q²= 4r² za 2. Dobimo q²= 2r² in vidimo, da mora biti tudi q sodo, kar smo domnevali, da ni tako. Nastalo protislovje zaključi dokaz - to formulo pogosto najdemo v vsaki matematični knjigi. Ta posredni dokaz je najljubši trik sofistov.

Pitagorejci niso mogli razumeti te neizmernosti. Vse bi se moralo opisati s številkami, diagonala kvadrata, ki jo lahko vsak nariše s palico na pesek, pa nima, torej merljive, dolžine. »Naša vera je bila zaman,« se zdi, da pravijo Pitagorejci. Kako to? To je nekako ... iracionalno. Unija se je skušala rešiti s sektaškimi metodami. Vsak, ki si upa razkriti svoj obstoj iracionalna števila, naj bi bil kaznovan s smrtjo, in očitno je prvo kazen izvršil gospodar sam.

Toda "misel je minila nepoškodovana." Zlata doba je prišla. Grki so premagali Perzijce (Maraton 490, Blok 479). Okrepila se je demokracija, nastala so nova središča filozofske misli in nove šole. Pitagorejci so se še vedno borili z iracionalnimi števili. Nekateri so pridigali: te skrivnosti ne bomo razumeli; lahko samo razmišljamo in se čudimo Unchartedu. Slednji so bili bolj pragmatični in niso spoštovali Skrivnosti. Takrat sta se pojavili dve miselni konstrukciji, ki sta omogočali razumevanje iracionalnih števil. Dejstvo, da jih danes dovolj dobro razumemo, pripada Evdoksu (XNUMX. stoletje pr.n.št.), in šele ob koncu XNUMX. stoletja je nemški matematik Richard Dedekind dal teoriji Evdoxusa ustrezen razvoj v skladu z zahtevami strogih matematična logika.

Masa figur ali mučenje

Bi lahko živeli brez številk? Tudi, če bi bilo življenje ... V trgovino bi morali kupiti čevlje s palico, ki smo ji predhodno izmerili dolžino stopala. "Rad bi jabolka, ah, tukaj je!" – bi pokazali prodajalce na trgu. "How far is it from Modlin to Nowy Dwur Mazowiecki"? “Precej blizu!”

Za merjenje se uporabljajo številke. Z njihovo pomočjo izražamo tudi številne druge pojme. Na primer, lestvica zemljevida kaže, koliko se je območje države zmanjšalo. Lestvica dva proti ena ali preprosto 2 izraža dejstvo, da je nekaj podvojeno. Recimo matematično: vsaki homogenosti ustreza število – njena lestvica.

Naloga. Naredili smo kserografsko kopijo, sliko smo večkrat povečali. Nato je bil povečan fragment ponovno povečan b-krat. Kakšna je splošna lestvica povečave? Odgovor: a × b pomnoženo z b. Te lestvice je treba pomnožiti. Število "minus ena", -1, ustreza eni natančnosti, ki je centrirana, torej zasukana za 180 stopinj. Katera številka ustreza zavoju za 90 stopinj? Te številke ni. Je, je ... ali bolje rečeno, bo kmalu. Ste pripravljeni na moralno mučenje? Bodite pogumni in vzemite kvadratni koren minus ena. poslušam? Kaj ne moreš? Konec koncev sem ti rekel, da bodi pogumen. Izvlecite ga! Hej, no, potegni, potegni... Pomagal bom... Tukaj: -1 Zdaj, ko ga imamo, ga poskusimo uporabiti... Seveda lahko zdaj izvlečemo korenine vseh negativnih števil, za primer .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Ne glede na duševne bolečine, ki jih prinaša." To je tisto, kar je leta 1539 zapisal Girolamo Cardano, ko je poskušal premagati duševne težave, povezane z – kot so temu kmalu rekli – namišljene količine. Upošteval je te ...

...Naloga. 10 razdelite na dva dela, katerih zmnožek je 40. Spomnim se, da je iz prejšnje epizode zapisal nekaj takega: Vsekakor nemogoče. Vendar naredimo tole: razdelimo 10 na dva enaka dela, vsak enak 5. Pomnožimo ju - izkazalo se je 25. Od nastalega 25 zdaj odštejte 40, če želite, in dobite -15. Poglejte zdaj: če √-15 prištejete in odštejete od 5, dobite produkt 40. To sta števili 5-√-15 in 5 + √-15. Preverjanje rezultata je Cardano izvedel na naslednji način:

»Ne glede na srčno bolečino, ki jo povzroča, pomnožite 5 + √-15 s 5-√-15. Dobimo 25 - (-15), kar je enako 25 + 15. Torej je produkt 40 .... Res je težko."

No, koliko je: (1 + √-1) (1-√-1)? Pomnožimo se. Ne pozabite, da je √-1 × √-1 = -1. Super. Zdaj težja naloga: od a + b√-1 do ab√-1. Kaj se je zgodilo? Vsekakor takole: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Kaj je pri tem zanimivega? Na primer dejstvo, da lahko faktoriziramo izraze, ki jih »prej nismo poznali«. Skrajšana formula za množenje za²-b² Se spomnite formule za²+b² ni bilo, ker ni moglo biti. V domeni realnih števil, polinom²+b² to je neizogibno. Označimo "naš" kvadratni koren od "minus ena" s črko i.²= -1. To je "nerealno" praštevilo. In to je tisto, kar opisuje 90-stopinjski obrat letala. Zakaj? Konec koncev,²= -1 in kombinacija ene 90-stopinjske rotacije in druge 180-stopinjske rotacije daje 45-stopinjsko rotacijo. Kakšna vrsta rotacije je opisana? Očitno obrat za XNUMX stopinj. Kaj pomeni -i? Je malo bolj zapleteno:

(-JAZ)² = -i × (-i) = + i² = -1

Torej -i opisuje tudi vrtenje za 90 stopinj, ravno v nasprotni smeri vrtenja i. Kateri je levi in ​​kateri desni? Morate se dogovoriti za sestanek. Predvidevamo, da število i določa vrtenje v smeri, ki jo matematiki štejejo za pozitivno: v nasprotni smeri urinega kazalca. Številka -i opisuje vrtenje v smeri premikanja kazalca.

Toda ali številki, kot sta i in -i, obstajajo? so! Pravkar smo jih oživeli. poslušam? Da obstajajo samo v naši glavi? No, kaj pričakovati? Tudi vsa druga števila obstajajo samo v naših mislih. Moramo videti, ali je naše število novorojenčkov preživelo. Natančneje, ali je zasnova logična in ali bodo za kaj koristni. Verjemite mi na besedo, da je vse v redu in da so te nove številke res v pomoč. Številke, kot so 3+i, 5-7i, bolj splošno: a+bi se imenujejo kompleksna števila. Pokazal sem vam, kako jih lahko dobite z vrtenjem letala. Vnesemo jih lahko na različne načine: kot točke v ravnini, kot nekatere polinome, kot nekakšne številčne nize ... in vsakič so enaki: enačba x² +1=0 ni elementa... hokus pokus je že tam!!!! Veselimo se in veselimo se!!!

Konec turneje

S tem zaključujemo našo prvo turnejo po deželi lažnih številk. Od ostalih nezemeljskih števil bom omenil tudi tista, ki imajo neskončno veliko števk spredaj, in ne zadaj (ime se imenujejo 10-adične, za nas so pomembnejše p-adične, kjer je p praštevilo), npr. X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Preštejmo X prosim². kot? Kaj pa, če izračunamo kvadrat števila, ki mu sledi neskončno število števk? No, naredimo enako. Vemo, da je x² = X.

Poiščimo še eno takšno število z neskončnim številom števk spredaj, ki izpolnjuje enačbo. Namig: kvadrat števila, ki se konča s šest, se tudi konča s šestico. Kvadrat števila, ki se konča s 76, se tudi konča s 76. Kvadrat števila, ki se konča s 376, se konča tudi s 376. Kvadrat števila, ki se konča na 9376, se konča tudi s 9376. Kvadrat števila, ki se konča na XNUMX na … Obstajajo tudi števila, ki so tako majhna, da, ker so pozitivna, ostanejo manjša od katerega koli drugega pozitivnega števila. So tako majhni, da jih včasih zadošča, da jih kvadriramo, da dobimo nič. Obstajajo števila, ki ne izpolnjujejo pogoja a × b = b × a. Obstajajo tudi neskončne številke. Koliko naravnih števil je tam? Neskončno veliko? Ja, ampak koliko? Kako je to mogoče izraziti kot število? Odgovor: najmanjše od neskončnih števil; označena je z lepo črko: A in dopolnjena z ničelnim indeksom A₀ , aleph-nič.

Obstajajo tudi številke, za katere ne vemo, da obstajajo... ali za katere lahko verjamete ali ne verjamete, kot želite. In če govorimo o podobnem: upam, da so vam še vedno všeč Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.