Zakaj ne delimo z nič?
Vsebina
Bralci se morda sprašujejo, zakaj tako banalni temi posvetim cel članek? Razlog je osupljivo število študentov (!), ki mimogrede izvajajo akcijo pod imenom. In ne samo študenti. Včasih ujamem in učitelje. Kaj bodo učenci takšnih učiteljev zmogli pri matematiki? Neposreden povod za pisanje tega besedila je bil pogovor z učiteljem, ki mu deljenje z nič ni bilo problem ...
Z ničlo, da, razen zaradi nikakršnih težav, saj nam je v vsakdanjem življenju pravzaprav ni treba uporabljati. Ne hodimo po nakupih brez jajc. »V sobi je ena oseba« zveni nekako naravno, »nič ljudi« pa umetno. Jezikoslovci pravijo, da je nič zunaj jezikovnega sistema.
Brez ničle lahko tudi na bančnih računih: preprosto uporabite - kot na termometru - rdečo in modro za pozitivne in negativne vrednosti (upoštevajte, da je za temperaturo naravno uporabiti rdečo za pozitivna števila, za bančne račune pa je obratno, ker bi morala obremenitev sprožiti opozorilo, zato je rdeča zelo priporočljiva).
Z vključitvijo nič kot naravnega števila se dotaknemo problema diferenciacije Kardinalne številke od gospodinjstvo. V 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
moč števila je enaka številki mesta, kjer stoji. Sicer pa je že v zaporedju 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
Na drugem mestu je število enojnih nizov, na tretjem število nizov z dvema elementoma in tako naprej. Pojasniti moramo, zakaj na primer ne oštevilčimo mest športnikov na tekmovanjih iz nič. Potem bi prvouvrščeni prejel srebrno medaljo (zlato je prejel zmagovalec na ničelnem mestu) in tako naprej. Nekako podoben postopek je bil uporabljen v nogometu - ne vem, ali bralci vedo, da "liga ena" pomeni " sledi najboljšim." «, ničelna liga pa postane »višja liga«.
Včasih slišimo argument, da moramo začeti iz nič, ker je to priročno za IT-jevce. Če nadaljujemo s temi razmišljanji, bi bilo treba definicijo kilometra spremeniti - moral bi biti 1024 m, ker je to število bajtov v kilobajtu (skliceval se bom na šalo, ki jo poznajo računalničarji: »Kakšna je razlika med brucem in študent računalništva in peti letnik te fakultete? da je kilobajt 1000 kilobajtov, zadnji - da je kilometer 1024 metrov")!
Drugo stališče, ki ga je treba že jemati resno, je to: vedno merimo od začetka! Dovolj je pogledati katero koli tehtnico na ravnilu, na gospodinjske tehtnice, tudi na uro. Ker merimo od nič, štetje pa lahko razumemo kot meritev z brezdimenzijsko enoto, potem bi morali šteti od nič.
To je preprosta zadeva, ampak ...
Pustimo splošno razmišljanje in se vrnimo k deljenju z nič. Zadeva je preprosta in preprosto bi bilo, če ne bi bilo ... pa kaj? Razmislimo in poskusimo. Koliko je lahko - ena deljeno z nič? Poglejmo: 1/0 = x. Pomnožite obe strani z imenovalcem leve strani.
Dobimo 1=0. Nekaj je narobe! Kaj se je zgodilo? Ah, ugani! Predpostavka, da obstaja kvocient enote in nič, vodi v protislovje. In če enega ni mogoče deliti z nič, potem lahko drugo število. Če, bralec, skomigneš z rameni in se sprašuješ, zakaj avtor (torej jaz) piše o takih floskulah, potem ... sem zelo vesel!
Formulo 0/0 = 0 bi lahko trdovratno zagovarjali, vendar je v nasprotju s pravilom, da je rezultat deljenja števila sam od sebe enak ena. Absolutno, a precej drugačni so simboli, kot so 0/0, °/° in podobni v računih. Ne pomenijo nobene številke, ampak so simbolne oznake za določena zaporedja določenih tipov.
V knjigi o elektrotehniki sem našel zanimivo primerjavo: deljenje z ničlo je prav tako nevarno kot visokonapetostna elektrika. To je normalno: Ohmov zakon pravi, da je razmerje med napetostjo in uporom enako toku: V = U / R. Če bi bil upor nič, bi skozi prevodnik tekel teoretično neskončen tok, ki bi zažgal vse možne prevodnike.
Nekoč sem napisal pesem o nevarnostih deljenja z nič za vsak dan v tednu. Spomnim se, da je bil najbolj dramatičen četrtek, a škoda za vse moje delo na tem področju.
Ko nekaj deliš z nič
Ponedeljek zelo zgodaj
Teden, kar se je pravkar zgodilo
Ti si že nesrečno spodletel.
Ko v torek popoldne
V imenovalec si dal nič
Potem ti bom rekel, da se motiš
Slab matematik!
Ko skozi ničlo, skozi perverzijo,
Rad bi se razšel v sredo
Dobili boste veliko težav
Seno in vodo imaš v glavi!
Z nami je bil neki Bartek.
Bil je v nasprotju s pravili.
V četrtek je deljivo z nič.
Ni ga več med nami!
Če te prevzame čudna želja
V petek delite z nič
Bom iskren, iskren bom:
Slab začetek tega vikenda.
Ko je nič, nekje v soboto
Predelnik bo vaš (ne krepko)
Pokleknite pod cerkveno ograjo.
To je vaše vstajenje.
Ali želite nič pod armaturno ploščo,
Naredite praznik v nedeljo
Prinesite kredo, črno tablo.
Zapiši: ni deljivo z nič!
Nič je povezana s praznino in ničom. Pravzaprav je prišel do matematike kot količine, ki je ne spremeni, ko je dodana nobeni: x + 0 = x. Toda zdaj se nič pojavlja v več drugih vrednostih, predvsem kot začetek lestvice. Če zunaj okna ni niti pozitivne temperature niti zmrzali, potem ... je to nič, kar ne pomeni, da sploh ni temperature. Spomenik ničelnega razreda ni tisti, ki je že dolgo porušen in preprosto ne obstaja. Nasprotno, nekaj podobnega kot Wawel, Eifflov stolp in Kip svobode.
No, pomena ničle v pozicijskem sistemu ni mogoče preceniti. Ali veš, bralec, koliko ničel ima Bill Gates na svojem bančnem računu? Ne vem, ampak pol bi rad. Očitno je Napoleon Bonaparte opazil, da so ljudje kot ničle: pridobijo pomen s položajem. V filmu Andrzeja Wajde As the Years, As the Days Mine strastni umetnik Jerzy eksplodira: "Filister je nič, nihil, nič, nič, nihil, nič." Toda nič je lahko dobro: »nič odstopanje od norme« pomeni, da gre vse dobro, in tako nadaljujte!
Vrnimo se k matematiki. Nič je mogoče nekaznovano dodajati, odštevati in množiti. »Pridobila sem nič kilogramov,« pravi Manya Anyi. "In to je zanimivo, saj sem izgubila enako težo," odgovarja Anya. Pojejmo torej šest porcij sladoleda šestkrat, ne bo nam škodilo.
Ne moremo deliti z nič, lahko pa delimo z nič. Tistim, ki čakajo na hrano, lahko zlahka razdelite krožnik nič cmokov. Koliko bo dobil vsak?
Nič ni pozitivna ali negativna. To in številka nepozitivenи nenegativna. Zadovoljuje neenakosti x≥0 in x≤0. Protislovje »nekaj pozitivnega« ni »nekaj negativnega«, temveč »nekaj negativnega ali enako nič«. Matematiki bodo v nasprotju s pravili jezika vedno rekli, da je nekaj "enako nič" in ne "nič". Za utemeljitev te prakse imamo: če beremo formulo x = 0 "x je enak nič", potem x = 1 preberemo "x je enako ena", kar bi lahko pogoltnili, kaj pa "x = 1534267" ? Prav tako ne morete dodeliti številske vrednosti znaku 00niti dvigniti nič na negativno potenco. Po drugi strani pa lahko po želji koreniš ničlo ... in rezultat bo vedno nič.
Eksponentna funkcija y = ax, pozitivna osnova a, nikoli ne postane nič. Iz tega sledi, da ničelni logaritem ne obstaja. Dejansko je logaritem a na bazo b eksponent, na katerega je treba dvigniti bazo, da dobimo logaritem a. Za a = 0 takega indikatorja ni in nič ne more biti osnova logaritma. Vendar pa je nič v "imenovaniku" Newtonovega simbola nekaj drugega. Predvidevamo, da te konvencije ne vodijo v protislovje.
lažni dokazi
Deljenje z nič je pogosta tema lažnih dokazov in se zgodi celo izkušenim matematikom. Naj vam navedem dva moja najljubša primera. Prva je algebraična. "Dokazal bom", da so vsa števila enaka. Recimo, da obstajata dve številki, ki nista enaki. Zato je eden od njih večji od drugega, naj bo a > b. Predpostavimo, da je c njihova razlika
c \uXNUMXd a - b. Torej imamo a - b = c, od koder je a = b + c.
Oba dela slednjega pomnožimo z a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Prevedem ak na levo stran, seveda se spomnim spremembe znaka:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Izključujem pogoste dejavnike:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Delim in imam, kar sem želel:
a = b.
In pravzaprav še bolj čudno, ker sem domneval, da je a > b, in dobil, da je a = b. Če je v zgornjem primeru "goljufanje" enostavno prepoznati, potem v spodnjem geometrijskem dokazu ni tako enostavno. Dokazal bom, da ... trapez ne obstaja. Lik, ki se običajno imenuje trapez, ne obstaja.
Toda najprej predpostavimo, da obstaja nekaj takega kot je trapez (ABCD na spodnji sliki). Ima dve vzporedni strani ("osnove"). Raztegnimo te podlage, kot je prikazano na sliki, tako da dobimo paralelogram. Njegove diagonale delijo drugo diagonalo trapeza na segmente, katerih dolžine so označene z x, y, z, kot v slika 1. Iz podobnosti ustreznih trikotnikov dobimo razmerja:
kjer definiramo:
Oraz
kjer definiramo:
Odštejte strani enakosti, označene z zvezdicami:
Če obe stranici skrajšamo za x − z, dobimo – a/b = 1, kar pomeni, da je a + b = 0. Toda števili a, b sta dolžini osnov trapeza. Če je njihova vsota nič, potem so tudi nič. To pomeni, da lik, kot je trapez, ne more obstajati! In ker so pravokotniki, rombovi in kvadrati tudi trapezi, potem, dragi bralec, tudi rombov, pravokotnikov in kvadratov ni ...
Ugani Ugani
Izmenjava informacij je najbolj zanimiva in najzahtevnejša izmed štirih osnovnih dejavnosti. Tu se prvič srečamo s pojavom, ki je tako pogost v odrasli dobi: »ugani odgovor, nato pa preveri, ali si uganil prav«. To je zelo primerno izrazil Daniel K. Dennett (»Kako delati napake?«, v Kako je – Znanstveni vodnik po vesolju, CiS, Varšava, 1997):
Ta metoda »ugibanja« ne posega v naše odraslo življenje – morda zato, ker se tega naučimo zgodaj in ugibanje ni težko. Ideološko se isti pojav pojavlja na primer pri matematični (popolni) indukciji. Na istem mestu »uganemo« formulo in nato preverimo, ali je naše ugibanje pravilno. Učenci se vedno sprašujejo: »Kako smo poznali vzorec? Kako ga je mogoče odstraniti?" Ko mi študentje zastavijo to vprašanje, njihovo vprašanje spremenim v šalo: "To vem, ker sem profesionalec, ker sem plačan, da vem." Učencem v šoli je mogoče odgovoriti v enakem slogu, le bolj resno.
Vaja. Upoštevajte, da začnemo seštevanje in pisno množenje z najnižjo enoto, deljenje pa z najvišjo enoto.
Kombinacija dveh idej
Učitelji matematike so vedno poudarjali, da je tisto, čemur pravimo ločitev odraslih, združitev dveh konceptualno različnih idej: Корпус i ločitev.
Prvi (Корпус) se pojavi pri nalogah, kjer je arhetip:
Razdeli-deli To so naloge, kot so:
? (Ohranjamo izvirni slog te težave, vzet iz priročnika Juliana Zgozalewicza, objavljenega v Krakovu leta 1892 - zlot je renski zlot, valuta, ki je bila v obtoku v Avstro-Ogrskem cesarstvu do začetka XNUMX. stoletja).
Zdaj razmislite o dveh težavah z najstarejši učbenik matematike v poljščini, oče Tomasz Clos (1538). Je to divizija ali kupe? Rešite tako, kot bi morali šolarji v XNUMX stoletju:
(Prevod iz poljščine v poljščino: V sodu je kvart in štirje lonci. Lonec je štiri litre. Nekdo je kupil 20 sodov vina za 50 zł za trgovino. Carina in davek (trošarina?) bosta 8 zł. Koliko prodati liter in zaslužiti 8 zł?)
Šport, fizika, skladnost
Včasih je treba v športu nekaj deliti z nič (razmerje ciljev). No, sodniki se nekako s tem spopadejo. Vendar pa so v abstraktni algebri na dnevnem redu. količine, ki niso ničkaterega kvadrat je nič. Lahko se celo preprosto razloži.
Razmislite o funkciji F, ki povezuje točko (y, 0) s točko v ravnini (x, y). Kaj je F2, to je dvojna izvedba F? Ničelna funkcija - vsaka točka ima sliko (0,0).
Končno so količine, ki niso nič, katerih kvadrat je 0, skoraj vsakdanji kruh za fizike, in števila v obliki a + bε, kjer je ε ≠ 0, vendar ε2 = 0, kličejo matematiki dvojne številke. Pojavljajo se pri matematični analizi in v diferencialni geometriji.
Konec koncev, v aritmetici obstaja nekaj, kar ima deljenje z nič vsaj v imenu. Izhaja iz skladnost. Naj Z označuje množico celih števil. Če množico Z delimo s p, pomeni, da vsako število (celo število) enačimo z nekaterimi drugimi, in sicer s tistimi, s katerimi je njihova razlika deljiva. Torej, ko imamo pet vrst števil, ki ustrezajo številkam 0, 1, 2, 3, 4 - možni ostanki pri deljenju s 5. Formula je zapisana takole:
mod, ko je razlika večkratna.
Za = 2 imamo samo dve števili: 0 in 1. Delitev celih števil na dva taka razreda je enakovredna delitvi na sodo in liho. Zamenjajmo ga zdaj. Razlika je vedno deljiva z 1 (vsako celo število je deljivo z 1). Ali je mogoče vzeti =0? Poskusimo: kdaj je razlika dveh številk večkratnik nič? Samo takrat, ko sta ti dve številki enaki. Torej je deljenje niza celih števil z nič smiselno, vendar ni zanimivo: nič se ne zgodi. Vendar je treba poudariti, da ne gre za delitev števil v smislu, ki ga poznamo iz osnovne šole.
Takšna dejanja so preprosto prepovedana, pa tudi dolga in široka matematika.
riž. 2. Identifikacija števil s primerjavo
(način 5 in način 2)
