Razdelite na pol - trikotnike in kvadrate

Prišlo je k nam novo leto, 2019. To ni praštevilka. Vsota števk je 2 + 0 + 1 + 9 = 12, kar pomeni, da je število deljivo s 3. Na praštevilo bo treba čakati dolgo, do leta 2027. Vendar bo zelo malo bralcev te epizode živelo v dvaindvajsetem stoletju. A takšni so zagotovo na tem svetu, še posebej lepši spol. Ljubosumen sem? Pravzaprav ne ... Moram pa pisati o matematiki. Zadnje čase vse več pišem o osnovnem šolstvu.

Ali je mogoče krog razdeliti na dve enaki polovici? Vsekakor. Kakšna so imena delov, ki jih boste prejeli? Ja, pol kroga. Ali je treba pri delitvi kroga z eno črto (en rez) narisati črto skozi središče kroga? da. Ali pa morda ne? Ne pozabite, da je to en rez, ena ravna črta.

Ali ste prepričani, da vsi ravna črta, ki poteka skozi središče kroga, jih razdeli na enake dele? Ali ste prepričani, da morate krog, da razdelite na enake dele ene ravne črte, narisati skozi središče?

Upravičite svojo vero. In kaj pomeni "utemeljiti"? Matematični dokaz se razlikuje od "dokaza" v pravnem smislu. Odvetnik mora prepričati sodnika in s tem prisiliti vrhovno sodišče, da ugotovi, da je stranka nedolžna. Zame je bilo vedno nesprejemljivo: koliko je usoda obdolženca odvisna od zgovornosti »papagaja« (tako malce omalovažujoče označujemo odvetnika).

Za matematika samo vera ni dovolj. Dokaz mora biti formalen, teza pa mora biti zadnja formula v logičnem zaporedju iz predpostavke. To je precej zapleten koncept, ki ga je skoraj nemogoče izvajati v vsakdanjem življenju.

Morda je bolje tako: tožbe in kazni, ki temeljijo na »matematični logiki«, bi bili pač ... brez duše. Očitno se to dogaja vse pogosteje. Ampak hočem samo oh.

Tudi formalni dokaz preprostih stvari lahko povzroči težave. Kako dokazati obe ti prepričanji o delitvi kroga? Lažje je najprej vsaka ravna črta, ki poteka skozi središče, deli krog na dva enaka dela.

Lahko rečemo takole: lik na sliki 1 zavrtimo za 180 stopinj. Nato bo zeleno polje postalo modro, modro polje pa zeleno. Zato morajo imeti enake kvadrate. Če črto narišete ne skozi sredino, bo eno od polj očitno manjše.

Trikotniki in kvadrati

Torej gremo naprej kvadrat. Ali imamo enako kot:

1. vsaka črta, ki poteka skozi središče kvadrata, ga deli na dva enaka dela?
2. Če ravna črta razdeli kvadrat na dva enaka dela, ali naj poteka skozi središče kvadrata?

Smo prepričani v to? Situacija je drugačna kot pri kolesu (2-7).

pojdimo na enakostranični trikotnik. Kako ga razpolovite? Enostavno - samo odrežite vrh in pravokotno na podlago (8).

Spomnim vas, da je osnova trikotnika lahko katera koli njegova stranica, tudi nagnjena. Rez poteka skozi središče trikotnika. Ali ga katera koli premica, ki poteka skozi središče trikotnika, prepolovi?

Ne! Glej sl. 9. Vsak od barvnih trikotnikov ima enako površino (zakaj?), tako da ima vrh velikega trikotnika štiri, spodnji pa pet. Razmerje polj ni 1:1, ampak 4:5.

Kaj pa, če osnovo razdelimo na recimo štiri dele in delimo enakostranični trikotnik preseka skozi središče in skozi točko na četrtini osnove? Bralec, ali lahko vidite, da je na sliki 10 površina "turkiznega" trikotnika 9/20 površine celotnega trikotnika? Ne vidiš? Škoda, to bom prepustil tebi, da se odločiš.

Prvo vprašanje - razloži, kako je: osnovo razdelim na štiri enake dele, skozi razdelilnico in središče trikotnika narišem ravno črto, na nasprotni strani pa dobim čudno razdelitev, v razmerju 2:3? Zakaj? lahko izračunaš?

Ali pa si morda ti, bralec, letos maturantka? Če je odgovor pritrdilen, potem določite, pri katerem položaju vrstic je razmerje polj minimalno? Ne veš? Ne pravim, da bi morali to popraviti takoj. Dam ti dve uri.

Če tega ne rešiš, potem... no, vseeno pa vso srečo pri zaključku srednje šole. K tej temi se bom vrnil.

Prebudite neodvisnost

- Ste lahko presenečeni? To je naslov knjige, ki jo je davno izdala revija Delta, matematični, fizikalni in astronomski mesečnik. Oglejte si svet okoli sebe. Zakaj obstajajo reke s peščenim dnom (navsezadnje je treba vodo takoj absorbirati!).

Zakaj oblaki plavajo po zraku? Zakaj letalo leti? (takoj bi moral pasti). Zakaj je v gorah na vrhovih včasih topleje kot v dolinah? Zakaj je sonce na severu opoldne na južni polobli? Zakaj je vsota kvadratov hipotenuze enaka kvadratu hipotenuze? Zakaj se zdi, da telo izgubi težo, ko je potopljeno v vodo, saj izpodriva vodo?

Vprašanja, vprašanja, vprašanja. Niso vsi takoj uporabni v vsakdanjem življenju, a prej ali slej bodo. Ali se zavedate pomembnosti zadnjega vprašanja (o vodi, ki jo izpodriva potopljeno telo)? Ko se je tega zavedal, je starejši gospod tekel gol po mestu in vpil: "Eureka, našel sem!" Ni odkril le fizičnega zakona, ampak je tudi dokazal, da je bil draguljar kralja Herona ponarejevalec!!! Oglejte si podrobnosti v globinah interneta.

Zdaj pa poglejmo druge oblike.

Šesterokotnik (11-14). Ali ga katera koli premica, ki poteka skozi njegovo središče, prepolovi? Ali naj gre črta, ki prepolovi šesterokotnik, skozi njegovo središče?

Kaj pa o petkotnik (15, 16)? osmerokotnik (17)? In za elipse (18)?

Ena od pomanjkljivosti šolske znanosti je, da poučujemo »v devetnajstem stoletju« – dajemo učencem problem in pričakujemo, da ga bodo rešili. Kaj je na tem slabega? Nič - razen tega, da se bo moral naš študent čez nekaj let ne le odzvati na ukaze, ki jih je "prejel" od nekoga, ampak tudi videti težave, oblikovati naloge, krmariti po območju, kjer še nihče ni dosegel.

Tako sem star, da sanjam o takšni stabilnosti: "Študiraj, Janez, naredi čevlje, pa boš delal kot čevljar do konca življenja." Izobraževanje kot prehod v najvišjo kasto. Zanimanje do konca življenja.

Sem pa tako »moderna«, da vem, da moram svoje dijake pripraviti na poklice, ki ... še ne obstajajo. Najboljše, kar lahko in zmorem, je, da učencem pokažem: BOSTE SPREMENILI SEBE? Tudi na ravni osnovne matematike.

Glej tudi: